÷ƒ’À; è TeX output 2004.03.10:1108‹ ÿÿÿÿ R ýº ‘? ïhtml:ï html:ŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ4 ïsrc:122tempanal.texóDÓít G® G® cmr17¹Bruce–7tK.“DrivŒqerŽŸVçÏóDÓít áH G® cmr17ºAnalysis–‚ÎT‘þÞo‘ ¦aols“with“ExamplesŽŸ* óX«Q cmr12»Marc¬rh–ê¨10,“2004“󛻈@ cmti12¼File:temp‘ÿffanal.texŽ 7xóX«Q ff cmr12½SpringerŽŸ »Berlin–ßüHeidelbSŽerg“New‘,ÐY‘ÿVorkŽ¤ Hong‘õoKong‘ßüLondonŽ¡Milan–ßüPš¬raris“T‘ÿVoky˜oŽŽŽŒ‹ * R ýº ‘? ïhtml:ï html:ŽŽ ( ŽŒ‹ 9 R ýº ‘? ïhtml:ï html:ŽŽ ( þ ‘? Ÿ „ ffP ŽŽŽŽŸ ‘? óÂÖN ff cmbx12¾Con•ŒÌten“tsŽ‘? Ÿj ïhtml:ï html:žff‰ ffP ŸñÇïsrc:1tempanal.tocïhtml:óò"V
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cmr10²3ŽŽ¤ ‘>€ ïsrc:3tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:1.1Ž‘€ T‘ÿ*ªop•Gology‘UUb“eginningsï html:‘qg‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ ¼3ŽŽ¡‘>€ ïsrc:4tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:1.2Ž‘€ A–UUBetter“Inš¸ãtegral“and“an“In˜troGduction“to“Measure“Theoryï html:‘g‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ ¼3ŽŽ© – ïsrc:5tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç2Ž“Set‘ÕTOpQÇerationsï html:‘¿„‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ ¼²7ŽŽ¡‘>€ ïsrc:6tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:2.1Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »10ŽŽ¦– ïsrc:7tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç3Ž“A–ÕTBrief“Review“of“Real“and“Complex“Num®9bQÇersï html:‘[‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²11ŽŽ¡‘>€ ïsrc:8tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:3.1Ž‘€ The–UUReal“Num¸ãbGersï html:‘ÆÇ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »12ŽŽ¡‘s€ ïsrc:9tempanal.toc‘· ï!html:3.1.1Ž‘€ The–UUDecimal“Represenš¸ãtation“of“a“Real“Num˜bGerï html:‘ éî‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »16ŽŽ¡‘>€ ïsrc:10tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:3.2Ž‘€ The–UUComplex“Num¸ãbGersï html:‘ ¿‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »19ŽŽ¡‘>€ ïsrc:11tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:3.3Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »20ŽŽ¦– ïsrc:12tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç4Ž“Limits–ÕTand“Sumsï html:+ž‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²21ŽŽ¡‘>€ ïsrc:13tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:4.1Ž‘€ Limsups,–UULiminfs“and“Extended“Limitsï html:‘¸J‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »21ŽŽ¡‘>€ ïsrc:14tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:4.2Ž‘€ Sums–UUof“pGositiv¸ãe“functionsï html:‘œ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »24ŽŽ¡‘>€ ïsrc:15tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:4.3Ž‘€ Sums–UUof“complex“functionsï html:qV‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »28ŽŽ¡‘>€ ïsrc:16tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:4.4Ž‘€ Iterated–UUsums“and“the“F›ÿ*ªubini“and“T˜onelli“Theoremsï html:‘a‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »32ŽŽ¡‘>€ ïsrc:17tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:4.5Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »34ŽŽ¡‘s€ ïsrc:18tempanal.toc‘· ï!html:4.5.1Ž‘€ Limit‘UUProblemsï html:‘Ü‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »34ŽŽ¡‘s€ ïsrc:19tempanal.toc‘· ï!html:4.5.2Ž‘€ Dominated›UUCon•¸ãv“ergence˜Theorem˜Problemsï html:‘[º‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »35ŽŽ¦– ïsrc:20tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç5Ž“óDF‰”
cmmib10Ê`Ÿü^ÿó *×Ó cmmib7ËpŽ‘ #ËÇ{–ÕTspaces,“Mink•®9o“wski–ÕTand“Holder“Inequalitiesï html:‘&ò‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²39ŽŽ¡‘>€ ïsrc:21tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:5.1Ž‘€ Exercises‘UUï html:‘*r‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »44ŽŽŸfh‰ ffP ŸñÇïsrc:22tempanal.tocïhtml:ÇPš®9art–ÕTIQÇI‘ Metric“and“Banac˜h“Space“Basicsï html:ŽŸX-‰ ffP ŽŽŒ‹ £ R ýº ‘? ïhtml:ï html:ó%o´‹Ç cmr9Ð4Ž‘ ªCon•¾9ten“tsŽŽ ( ýî ‘S ïsrc:23tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç6Ž‘ Metric‘ÕTSpacesï html:‘-¾‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²49ŽŽ¤ ‘}€ ïsrc:24tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:6.1Ž‘€ Con•¸ãtin“uit“yï html:‘ Õ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »51ŽŽ¡‘}€ ïsrc:25tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:6.2Ž‘€ Completeness–UUin“Metric“Spacesï html:‘¤‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »53ŽŽ¡‘}€ ïsrc:26tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:6.3Ž‘€ Supplemen¸ãtary‘UURemarksï html:MБp.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »55ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:27tempanal.toc‘· ï!html:6.3.1Ž‘€ W‘ÿ*ªord–UUof“Cautionï html:‘\
‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »55ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:28tempanal.toc‘· ï!html:6.3.2Ž‘€ Riemannian‘UUMetricsï html:‘¸v‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »56ŽŽ¡‘}€ ïsrc:29tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:6.4Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »57ŽŽ© ‘S ïsrc:30tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç7Ž‘ Banac®9h‘ÕTSpacesï html:‘ ó‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²59ŽŽ¡‘}€ ïsrc:31tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:7.1Ž‘€ Examplesï html:\8‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »59ŽŽ¡‘}€ ïsrc:32tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:7.2Ž‘€ Bounded–UULinear“OpGerators“Basicsï html:‘ã‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »62ŽŽ¡‘}€ ïsrc:33tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:7.3Ž‘€ General–UUSums“in“Banac¸ãh“Spacesï html:‘&ž‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »66ŽŽ¡‘}€ ïsrc:34tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:7.4Ž‘€ In•¸ãv“erting›UUElemen“ts˜in˜µL²(µX‘ Èâ²)ï html:‘‘‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »68ŽŽ¡‘}€ ïsrc:35tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:7.5Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »70ŽŽ¦‘S ïsrc:36tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç8Ž‘ The–ÕTRiemann“In®9tegralï html:‘/בpµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²73ŽŽ¡‘}€ ïsrc:37tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:8.1Ž‘€ The–UUF‘ÿ*ªundamen¸ãtal“Theorem“of“Calculusï html:‘ ›Ü‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »77ŽŽ¡‘}€ ïsrc:38tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:8.2Ž‘€ In¸ãtegral–UUOpšGerators“as“Examples“of“Bounded“Op˜eratorsï html:‘?5‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »81ŽŽ¡‘}€ ïsrc:39tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:8.3Ž‘€ Linear–UUOrdinary“Dieren¸ãtial“Equationsï html:‘1.‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »83ŽŽ¡‘}€ ïsrc:40tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:8.4Ž‘€ Classical–UUW‘ÿ*ªeierstrass“Appro¸ãximation“Theoremï html:*‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »87ŽŽ¡‘}€ ïsrc:41tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:8.5Ž‘€ Iterated‘UUIn¸ãtegralsï html:‘é‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »94ŽŽ¡‘}€ ïsrc:42tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:8.6Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »95ŽŽ¦‘S ïsrc:43tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç9Ž‘ H‘ú@older–ÕTSpaces“as“Banac®9h“Spacesï html:‘²O‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²101ŽŽ¡‘}€ ïsrc:44tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:9.1Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º105ŽŽ‘? Ÿfh‰ ffP ŸñÇïsrc:45tempanal.tocïhtml:ÇP®9art›ÕTI•QÇI“I‘ T‘ÿ
«op“ological˜Spacesï html:ŽŸX-‰ ffP ŸñÈ– ïsrc:46tempanal.toc‘ì ïhtml:10Ž“T‘ÿ
«opQÇological–ÕTSpace“Basicsï html:fA‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²109ŽŽ¡‘>€ ïsrc:47tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:10.1Ž‘€ Constructing–UUT‘ÿ*ªopGologies“and“Checš¸ãking“Con˜tin˜uit˜yï html:‘x(‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º110ŽŽ¡‘>€ ïsrc:48tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:10.2Ž‘€ ProGduct–UUSpaces“Iï html:‘Õ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º116ŽŽ¡‘>€ ïsrc:49tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:10.3Ž‘€ Closure‘UUopGerationsï html:‘ ñr‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º119ŽŽ¡‘>€ ïsrc:50tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:10.4Ž‘€ Coun•¸ãtabilit“y‘UUAxiomsï html:‘œ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º121ŽŽ¡‘>€ ïsrc:51tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:10.5Ž‘€ Connectednessï html:‘¸‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º123ŽŽ¡‘>€ ïsrc:52tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:10.6Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º127ŽŽ¡‘s€ ïsrc:53tempanal.toc‘· ï"html:10.6.1Ž‘€ General–UUT‘ÿ*ªopGological“Space“Problemsï html:‘;Ò‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º127ŽŽ¡‘s€ ïsrc:54tempanal.toc‘· ï"html:10.6.2Ž‘€ Connectedness‘UUProblemsï html:‘ã‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º128ŽŽ¡‘s€ ïsrc:55tempanal.toc‘· ï"html:10.6.3Ž‘€ Metric–UUSpaces“as“T‘ÿ*ªopGological“Spacesï html:‘1*‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º129ŽŽ¦– ïsrc:56tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç11Ž“Compactnessï html:‘õ‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²131ŽŽ¡‘>€ ïsrc:57tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:11.1Ž‘€ Metric–UUSpace“Compactness“Criteriaï html:‘”Αp.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º132ŽŽ¡‘>€ ïsrc:58tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:11.2Ž‘€ Compact‘UUOpGeratorsï html:‘ ÿ¦‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º139ŽŽ¡‘>€ ïsrc:59tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:11.3Ž‘€ LoGcal–UUand“µ‘±.²{“Compactnessï html:‘ åÉ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º140ŽŽ¡‘>€ ïsrc:60tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:11.4Ž‘€ F‘ÿ*ªunction–UUSpace“Compactness“Criteriaï html:‘¿o‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º142ŽŽ¡‘>€ ïsrc:61tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:11.5Ž‘€ T•¸ãyc“hono‘ Ç's‘UUTheoremï html:‘jK‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º146ŽŽŽŽŒ‹ $ý R ýº ‘? ïhtml:ï html:’ßwÐCon•¾9ten“ts‘y¬5ŽŽŽ ( ýî ‘}€ ïsrc:62tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:²11.6Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º149ŽŽ¤ ’ ²€ ïsrc:63tempanal.toc‘· ï"html:11.6.1Ž‘€ Ascoli-Arzela–UUTheorem“Problemsï html:‘ÆŠ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º150ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:64tempanal.toc‘· ï"html:11.6.2Ž‘€ T•¸ãyc“hono‘ Ç's–UUTheorem“Problemï html:‘¿q‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º151ŽŽ© ‘S ïsrc:65tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç12Ž‘ LoQÇcally–ÕTCompact“Hausdor“Spacesï html:‘Äk‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²153ŽŽ¡‘}€ ïsrc:66tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:12.1Ž‘€ LoGcally–UUcompact“form“of“Urysohn's“Metrization“Theoremï html:‘iØ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º158ŽŽ¡‘}€ ïsrc:67tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:12.2Ž‘€ Pš¸ãartitions–UUof“Unit˜yï html:‘Æ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º160ŽŽ¡‘}€ ïsrc:68tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:12.3Ž‘€ µCŸÿóÙ“ R cmr7±0Ž‘|s²(µX‘ Èâ²)–UUand“the“Alexandero¸ãv“Compacticationï html:‘ÄN‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º165ŽŽ¡‘}€ ïsrc:69tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:12.4Ž‘€ Stone-W‘ÿ*ªeierstrass‘UUTheoremï html:‘ÍË‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º168ŽŽ¡‘}€ ïsrc:70tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:12.5Ž‘€ *More–UUon“Separation“Axioms:“Normal“Spacesï html:‘ø6‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º172ŽŽ¡‘}€ ïsrc:71tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:12.6Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º175ŽŽ¦‘S ïsrc:72tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç13Ž‘ Baire–ÕTCategory“Theoremï html:‘j{‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²179ŽŽ¡‘}€ ïsrc:73tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:13.1Ž‘€ Metric–UUSpace“Baire“Category“Theoremï html:‘¢û‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º179ŽŽ¡‘}€ ïsrc:74tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:13.2Ž‘€ LoGcally–UUCompact“Hausdor“Space“Baire“Category“Theoremï html:‘
`‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º180ŽŽ¡‘}€ ïsrc:75tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:13.3Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º186ŽŽ¦‘S ïsrc:76tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç14Ž‘ HilbQÇert–ÕTSpace“Basicsï html:‘ Û˜‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²187ŽŽ¡‘}€ ïsrc:77tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:14.1Ž‘€ HilbGert–UUSpace“Basisï html:‘ño‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º195ŽŽ¡‘}€ ïsrc:78tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:14.2Ž‘€ Some–UUSpGectral“Theoryï html:8ƒ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º202ŽŽ¡‘}€ ïsrc:79tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:14.3Ž‘€ Compact–UUOpšGerators“on“a“Hilb˜ert“Spaceï html:‘ øM‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º208ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:80tempanal.toc‘· ï"html:14.3.1Ž‘€ The–õÿSpGectral›ö Theorem“for“Self“Adjoin¸ãt˜CompactŽ¡’ ˆ OpGeratorsï html:‘FΑp.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º210ŽŽ¡‘}€ ïsrc:81tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:14.4Ž‘€ W‘ÿ*ªeak‘UUCon•¸ãv“ergenceï html:?‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º214ŽŽ¡‘}€ ïsrc:82tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:14.5Ž‘€ Supplemenš¸ãt–UU1:“Con˜v˜erse“of“the“P˜arallelogram“La˜wï html:‘x+‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º216ŽŽ¡‘}€ ïsrc:83tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:14.6Ž‘€ Supplemen¸ãt–UU2.“Non-complete“inner“proGduct“spacesï html:‘›¹‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º218ŽŽ¡‘}€ ïsrc:84tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:14.7Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º220ŽŽ‘? Ÿfh‰ ffP ŸñÇïsrc:85tempanal.tocïhtml:ÇP®9art–¾IV‘ Calculus›½and“Ordinary˜Dieren®9tial“Equations˜in“Banac®9hŽ¡Spacesï html:ŽŸX-‰ ffP ŸñÈ– ïsrc:86tempanal.toc‘ì ïhtml:15Ž“Ordinary–ÕTDierenš®9tial“Equations“in“a“Banac˜h“Spaceï html:‘ï^‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²223ŽŽ¡‘>€ ïsrc:87tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:15.1Ž‘€ Examplesï html:\8‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º223ŽŽ¡‘>€ ïsrc:88tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:15.2Ž‘€ Uniqueness–vGTheorem“and“Con•¸ãtin“uous–vGDepGendence“on“InitialŽ¡‘*€ Dataï html:‘ ø¹‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º225ŽŽ¡‘>€ ïsrc:89tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:15.3Ž‘€ LoGcal–UUExistence“(Non-Linear“ODE)ï html:‘ÔÊ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º227ŽŽ¡‘>€ ïsrc:90tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:15.4Ž‘€ Global‘UUPropGertiesï html:< ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º230ŽŽ¡‘>€ ïsrc:91tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:15.5Ž‘€ Semi-Group–UUPropšGerties“of“time“indep˜endenš¸ãt“
o˜wsï html:‘BÙ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º236ŽŽ¡‘>€ ïsrc:92tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:15.6Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º238ŽŽ¦– ïsrc:93tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç16Ž“Banac®9h–ÕTSpace“Calculusï html:‘ñG‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²241ŽŽ¡‘>€ ïsrc:94tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:16.1Ž‘€ The‘UUDieren¸ãtialï html:‘*^‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º241ŽŽ¡‘>€ ïsrc:95tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:16.2Ž‘€ ProGduct–UUand“Chain“Rulesï html:‘ ¿•‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º243ŽŽ¡‘>€ ïsrc:96tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:16.3Ž‘€ P•¸ãartial‘UUDeriv‘ÿqÇativ“esï html:‘ ¸Ž‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º247ŽŽ¡‘>€ ïsrc:97tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:16.4Ž‘€ Higher–UUOrder“Deriv‘ÿqÇativ¸ãesï html:‘xz‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º249ŽŽŽŽŒ‹ h R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð6Ž‘ ªCon•¾9ten“tsŽŽ ( ýî ‘}€ ïsrc:98tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:²16.5Ž‘€ In•¸ãv“erse–UUand“Implicit“F‘ÿ*ªunction“Theoremsï html:‘ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º253ŽŽ¤ ‘}€ ïsrc:99tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:16.6Ž‘€ Smo•Goth›UUDep“endence˜of˜ODE's˜on˜Initial˜Conditions*˜ï html:‘ø‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º260ŽŽ¡‘}€ ïsrc:100tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:16.7Ž‘€ Existence–UUof“P¸ãerioGdic“Solutionsï html:‘Ø‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º263ŽŽ¡‘}€ ïsrc:101tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:16.8Ž‘€ Con¸ãtraction–UUMapping“Principleï html:‘1H‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º265ŽŽ¡‘}€ ïsrc:102tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:16.9Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º267ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:103tempanal.toc‘· ï"html:16.9.1Ž‘€ Alternate–construction“of“µg[Ù².“T‘ÿ*ªo“bGe“made“in¸ãto“an“exercise.ï html:‘ € 269ŽŽ‘? ŸX/‰ ffP ŸñÇïsrc:104tempanal.tocïhtml:ÇPš®9art–ÕTV‘ LebQÇesgue“In˜tegration“Theoryï html:ŽŸX-‰ ffP ŸñÈ– ïsrc:105tempanal.toc‘ì ïhtml:17Ž“Inš®9troQÇduction:–ïiWhat“are“measures“and‘ïjwh˜y“\measurable"Ž¡‘ setsï html:‘/:‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²273ŽŽ¡‘>€ ïsrc:106tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:17.1Ž‘€ The–UUproblem“with“LebGesgue“\measure"ï html:‘[Þ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º274ŽŽ© – ïsrc:107tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç18Ž“Measurabilit®9yï html:‘ Ʀ‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²279ŽŽ¡‘>€ ïsrc:108tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:18.1Ž‘€ Algebras–UUand“µ‘±.²{“Algebrasï html:‘ ´‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º279ŽŽ¡‘>€ ïsrc:109tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:18.2Ž‘€ Measurable‘UUF‘ÿ*ªunctionsï html:‘ñg‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º284ŽŽ¡‘s€ ïsrc:110tempanal.toc‘· ï"html:18.2.1Ž‘€ More–UUgeneral“pGoin•¸ãt“wise‘UUlimitsï html:‘ñ>‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º291ŽŽ¡‘>€ ïsrc:111tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:18.3Ž‘€ µ‘±.²{–UUF‘ÿ*ªunction“Algebrasï html:‘Ђ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º292ŽŽ¡‘>€ ïsrc:112tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:18.4Ž‘€ ProGduct–UUµ‘±.²{“Algebrasï html:‘×¢‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º299ŽŽ¡‘s€ ïsrc:113tempanal.toc‘· ï"html:18.4.1Ž‘€ F‘ÿ*ªactoring–UUof“Measurable“Mapsï html:‘18‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º302ŽŽ¡‘>€ ïsrc:114tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:18.5Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º302ŽŽ¦– ïsrc:115tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç19Ž“Measures–ÕTand“In®9tegrationï html:‘ ©Ë‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²305ŽŽ¡‘>€ ïsrc:116tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:19.1Ž‘€ Example–UUof“Measuresï html:‘*K‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º308ŽŽ¡‘s€ ïsrc:117tempanal.toc‘· ï"html:19.1.1Ž‘€ ADD:–UUExamples“of“Measuresï html:‘ ÔÏ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º310ŽŽ¡‘>€ ïsrc:118tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:19.2Ž‘€ In¸ãtegrals–UUof“Simple“functionsï html:‘[û‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º310ŽŽ¡‘>€ ïsrc:119tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:19.3Ž‘€ Inš¸ãtegrals–UUof“pGositiv˜e“functionsï html:‘#‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º312ŽŽ¡‘>€ ïsrc:120tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:19.4Ž‘€ In¸ãtegrals–UUof“Complex“V›ÿ*ªalued“F˜unctionsï html:‘8M‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º320ŽŽ¡‘>€ ïsrc:121tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:19.5Ž‘€ Measurabilit¸ãy–UUon“Complete“Measure“Spacesï html:‘¸A‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º329ŽŽ¡‘>€ ïsrc:122tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:19.6Ž‘€ Comparison–UUof“the“LebGesgue“and“the“Riemann“In¸ãtegralï html:‘
q‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º330ŽŽ¡‘>€ ïsrc:123tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:19.7Ž‘€ Determining–UUClasses“of“Measuresï html:‘j+‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º333ŽŽ¡‘>€ ïsrc:124tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:19.8Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º336ŽŽ¦– ïsrc:125tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç20Ž“Multiple‘ÕTIn®9tegralsï html:‘*+‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²339ŽŽ¡‘>€ ïsrc:126tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:20.1Ž‘€ F–ÿ*ªubini-T“onelli's–UUTheorem“and“ProGduct“Measureï html:‘†k‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º340ŽŽ¡‘>€ ïsrc:127tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:20.2Ž‘€ LebGesgue–BwMeasure›Bvon“óˆ¶È
msbm10ÄRŸü^ÿó 0e—r cmmi7´dŽ‘ì)²and˜the“Change“of˜V‘ÿ*ªariables“Theoremï html:‘ € 348ŽŽ¡‘>€ ïsrc:128tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:20.3Ž‘€ The–UUP¸ãolar“DecompšGosition“of“Leb˜esgue“Measureï html:‘MŒ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º359ŽŽ¡‘>€ ïsrc:129tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:20.4Ž‘€ More–öproGofs›÷of“the˜classical“W‘ÿ*ªeierstrass“appro¸ãximationŽ¡‘*€ Theorem‘UUïhtml:8.34ï html:ï html:‘x‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º362ŽŽ¡‘>€ ïsrc:130tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:20.5Ž‘€ More–UUSpherical“CoGordinatesï html:‘ ±U‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º365ŽŽ¡‘>€ ïsrc:131tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:20.6Ž‘€ Sard's‘UUTheoremï html:‘³‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º369ŽŽ¡‘>€ ïsrc:132tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:20.7Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º373ŽŽŽŽŒ‹ ¤ R ýº ‘? ïhtml:ï html:’ßwÐCon•¾9ten“ts‘y¬7ŽŽŽ ( ýî ‘S ïsrc:133tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç21Ž‘ ÊLŸü^ÿËpŽ‘NwÇ-spacesï html:‘Þô‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²377ŽŽ¤ ‘}€ ïsrc:134tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:21.1Ž‘€ Jensen's‘UUInequalit¸ãyï html:‘xŒ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º381ŽŽ¡‘}€ ïsrc:135tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:21.2Ž‘€ MoGdes–UUof“Con•¸ãv“ergenceï html:‘£-‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º385ŽŽ¡‘}€ ïsrc:136tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:21.3Ž‘€ Completeness–UUof“µLŸü^ÿ´pŽ‘ô§²{“spacesï html:‘Êè‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º389ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:137tempanal.toc‘· ï"html:21.3.1Ž‘€ Summary:ï html:‘?¯‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º393ŽŽ¡‘}€ ïsrc:138tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:21.4Ž‘€ Con•¸ãv“erse–UUof“H‘úÿÿolder's“Inequalit¸ãyï html:c‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º393ŽŽ¡‘}€ ïsrc:139tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:21.5Ž‘€ Uniform‘UUIn•¸ãtegrabilit“yï html:‘‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º399ŽŽ¡‘}€ ïsrc:140tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:21.6Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º406ŽŽ© ‘S ïsrc:141tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç22Ž‘ Approš®9ximation–ÕTTheorems“and“Con˜v˜olutionsï html:‘)±‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²409ŽŽ¡‘}€ ïsrc:142tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:22.1Ž‘€ Densit¸ãy‘UUTheoremsï html:‘
æ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º409ŽŽ¡‘}€ ïsrc:143tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:22.2Ž‘€ Con•¸ãv“olution–UUand“Y‘ÿ*ªoung's“Inequalitiesï html:‘ƈ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º416ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:144tempanal.toc‘· ï"html:22.2.1Ž‘€ SmoGoth–UUPš¸ãartitions“of“Unit˜yï html:‘TÍ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º426ŽŽ¡‘}€ ïsrc:145tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:22.3Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º427ŽŽ¦‘S ïsrc:146tempanal.toc‘ì ïhtml:Ç23Ž‘ LŸü^ÿóf$Ø cmbx7È2Ž‘Ý&Ç-–ÕTHilbQÇert“Spaces“T›ÿ
«ec®9hniques“and“F˜ourier“Seriesï html:‘±‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ º²431ŽŽ¡‘}€ ïsrc:147tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:23.1Ž‘€ LŸü^ÿ±2Ž‘|s²-Orthonoramal‘UUBasisï html:‘ Ÿ™‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º431ŽŽ¡‘}€ ïsrc:148tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:23.2Ž‘€ HilbšGert–UUSc¸ãhmidt“Op˜eratorsï html:#‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º433ŽŽ¡‘}€ ïsrc:149tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:23.3Ž‘€ F‘ÿ*ªourier–UUSeries“Considerationsï html:‘Ûû‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º438ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:150tempanal.toc‘· ï"html:23.3.1Ž‘€ Diric•¸ãhlet,›UUF‘ÿ*ªej“‘ûGer˜and˜Kernelsï html:‘ ¿‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º439ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:151tempanal.toc‘· ï"html:23.3.2Ž‘€ The–UUDiricš¸ãhlet“Problems“on“µD‘œr²and“the“P˜oisson“Kernel“ï html:Eñ‘p.ŽŽ‘ÿý‘p.ŽŽ‘ º444ŽŽ¡‘}€ ïsrc:152tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:23.4Ž‘€ W‘ÿ*ªeak–UUµLŸü^ÿ±2Ž‘|s²-Deriv‘ÿqÇativ¸ães“ï html:‘|‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º447ŽŽ¡‘}€ ïsrc:153tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:23.5Ž‘€ *Conditional‘UUExpGectationï html:#‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º449ŽŽ¡‘}€ ïsrc:154tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:23.6Ž‘€ Exercisesï html:‘Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º452ŽŽ¡‘}€ ïsrc:155tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:23.7Ž‘€ F‘ÿ*ªourier–UUSeries“Exercisesï html:‘qe‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º454ŽŽ¡‘}€ ïsrc:156tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:23.8Ž‘€ Conditional–UUExpGectation“Exercisesï html:‘ͯ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ º458ŽŽ‘? ŸX/‰ ffP ŸñÇïsrc:157tempanal.tocïhtml:ÇP®9art‘ÕTVI‘ AppQÇendicesï html:ŽŸX-‰ ffP ŸñÈ– ïsrc:158tempanal.toc‘ì ïhtml:AŽ“Multinomial–ÕTTheorems“and“Calculus“Resultsï html:) ‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ ¼²5ŽŽ¡‘>€ ïsrc:159tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:A.1Ž‘€ Multinomial–UUTheorems“and“ProGduct“Rulesï html:‘
—‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ ¼5ŽŽ¡‘>€ ïsrc:160tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:A.2Ž‘€ T‘ÿ*ªa¸ãylor's‘UUTheoremï html:qw‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ ¼7ŽŽ¦– ïsrc:161tempanal.toc‘ì ïhtml:ÇBŽ“Zorn's–ÕTLemma“and“the“Hausdor“Maximal“Principle“ï html:‘‚‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²11ŽŽ¦– ïsrc:162tempanal.toc‘ì ïhtml:ÇCŽ“Netsï html:‘¸v‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²15ŽŽ¦– ïsrc:163tempanal.toc‘ì ïhtml:ÇDŽ“Study‘ÕTGuidesï html:‘£‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²19ŽŽ¡‘>€ ïsrc:164tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:D.1Ž‘€ Study–UUGuide“F›ÿ*ªor“Math“240A:“F˜all“2003ï html:‘ »Ø‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »19ŽŽ¡‘s€ ïsrc:165tempanal.toc‘· ï!html:D.1.1Ž‘€ Basic–UUthings“yš¸ãou“should“kno˜w“abGout“n˜um˜bGers“and“limitsï html:‘¸À19ŽŽ¡‘s€ ïsrc:166tempanal.toc‘· ï!html:D.1.2Ž‘€ Basic–Š¼things“yš¸ãou“should‘Š½kno˜w“abšGout“top˜ological“andŽ¡‘I measurable‘UUspaces:ï html:‘”í‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »19ŽŽ¡‘s€ ïsrc:167tempanal.toc‘· ï!html:D.1.3Ž‘€ Basic–UUthings“yš¸ãou“should“kno˜w“abGout“Metric“Spacesï html:‘¢‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »21ŽŽ¡‘s€ ïsrc:168tempanal.toc‘· ï!html:D.1.4Ž‘€ Basic–UUthings“yš¸ãou“should“kno˜w“abGout“Banac˜h“spacesï html:‘ÿ/‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »21ŽŽ¡‘s€ ïsrc:169tempanal.toc‘· ï!html:D.1.5Ž‘€ The–UURiemann“in¸ãtegralï html:‘ ÿ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »21ŽŽŽŽŒ‹ Üü R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð8Ž‘ ªCon•¾9ten“tsŽŽ ( ýî ’ ²€ ïsrc:170tempanal.toc‘· ï!html:²D.1.6Ž‘€ Basic–8mthings“yš¸ãou“should“kno˜w‘8labšGout“Leb˜esgueŽ¤ ’ ˆ in¸ãtegration–UUtheory“and“innite“sumsï html:‘›Ï‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »22ŽŽ¡‘}€ ïsrc:171tempanal.toc‘Õ€ ïhtml:D.2Ž‘€ Study–UUGuide“F‘ÿ*ªor“Math“240B:“Win¸ãter“2004ï html:‘Ñ#‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »23ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:172tempanal.toc‘· ï!html:D.2.1Ž‘€ Basic–UUthings“yš¸ãou“should“kno˜w“abGout“Multiple“In˜tegrals:ï html:‘
O23ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:173tempanal.toc‘· ï!html:D.2.2Ž‘€ Basic–UUthings“yš¸ãou“should“kno˜w“abGout“µLŸü^ÿ´pŽ‘ô§²{“spacesï html:‘˜Ê‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »23ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:174tempanal.toc‘· ï!html:D.2.3Ž‘€ Additional–'Basic›&things“y¸ãou˜should“kno¸ãw“abGoutŽ¡’ ˆ topGological‘UUspaces:ï html:‘
Ñ‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »23ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:175tempanal.toc‘· ï!html:D.2.4Ž‘€ Things–ïŸyš¸ãou‘ïžshould“kno˜w‘ïžabšGout“Lo˜cally“CompactŽ¡’ ˆ Hausdor‘UUSpaces:ï html:‘£'‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »24ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:176tempanal.toc‘· ï!html:D.2.5Ž‘€ Approš¸ãximation–UUTheorems“and“Con˜v˜olutionsï html:)ð‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »24ŽŽ¡’ ²€ ïsrc:177tempanal.toc‘· ï!html:D.2.6Ž‘€ Things–UUyš¸ãou“should“kno˜w“abšGout“Hilb˜ert“Spacesï html:‘Û¯‘p.ŽŽ–ÿý‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ“‘p.ŽŽ‘ »25ŽŽ¤ ‘S ïsrc:178tempanal.toc‘ì ïhtml:ÇReferencesï html:‘\‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²27ŽŽ¡‘S ïsrc:179tempanal.toc‘ì ïhtml:ÇIndexï html:‘…M‘pµ:Ž–ÿý‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž“‘p:Ž‘ »²29ŽŽŽŽŒ‹ R ýº ‘? ïhtml:ï html:ŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ" ’%(‹ïsrc:142tempanal.tex¾PŒÌart‘ffI’þ° Ÿ „ ffP ŽŽŽŽ ’LÍ’ ¯¢/BacŒÌk–ffGround“MaterialŽŽŽŒ‹ ' R ýº ‘? ïhtml:ï html:ŽŽ ( ŽŒ‹ ( R ýº ‘? ïhtml:ï html:ŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ" Ÿ „ ffP ŽŽŽ¾1ŽŽŸ ïsrc:144tempanal.texInŒÌtros3duction–ff/“User“GuideŽŸv ïsrc:146tempanal.tex²Not–UUwritten“as“of“yš¸ãet.“T‘ÿ*ªopics“to“men˜tion.ŽŸ ñÇïhtml:ï html:¤
9‘8â1.ŽŽŽ‘ ïsrc:149tempanal.texA–UUbGetter“and“more“general“in¸ãtegral.ŽŸñÇïhtml:ï html:¡‘pa)ŽŽŽ‘" ïsrc:152tempanal.texCon•¸ãv“ergence‘UUTheoremsŽ¤€ ïhtml:ï html:© € ‘Ž7b)ŽŽŽ‘" ïsrc:154tempanal.texIn•¸ãtegration›UUo“v“er˜div“erse˜collection˜of˜sets.˜(See˜probabilit“y˜theory‘ÿ*ª.)Ž¡ïhtml:ï html:¦‘ªªc)ŽŽŽ‘" ïsrc:156tempanal.texIn•¸ãtegration›éÂrelativ“e‘éÃto˜dieren“t˜w“eigh“ts–éÃor˜densities“including˜singularŽŸ ‘" w•¸ãeigh“ts.ŽŸñÇïhtml:ï html:Ÿ
9‘Ž7d)ŽŽŽ‘" ïsrc:159tempanal.texCharacterization–UUof“dual“spaces.Ž¡ïhtml:ï html:¦‘ªªe)ŽŽŽ‘" ïsrc:161tempanal.texCompleteness.ŽŸ€ ïhtml:ï html:¦‘8â2.ŽŽŽ‘ ïsrc:164tempanal.texInnite–UUdimensional“Linear“algebra.Ž¤ñÇïhtml:ï html:©
9‘8â3.ŽŽŽ‘ ïsrc:166tempanal.texODE–UUand“PDE.Žïhtml:ï html:Ÿ ‘8â4.ŽŽŽ‘ ïsrc:168tempanal.texHarmonic–UUand“F‘ÿ*ªourier“Analysis.Ž¡ïhtml:ï html:¦‘8â5.ŽŽŽ‘ ïsrc:170tempanal.texProbabilit¸ãy‘UUTheoryŽŸ ‘ ïsrc:173tempanal.tex***–UUBeginning“of“W¸ãORK“material.“***ŽŸñÇïhtml:ï html:Ÿ9ó&ÂÖN cmbx12Ñ1.1Ž‘@ T‘þà op•` ology‘€ b“eginningsŽ© ïsrc:177tempanal.tex²Recall–õÞthe›õÝnotion“of˜a“topGology“b¸ãy˜extrapGolating“from“the˜opGen“sets˜on“ÄRŸü^ÿ±2Ž‘|sµ:Ž¤ ²Also–jÝrecall“what“it“means‘jÜto“bGe“con•¸ãtin“uous,–jÝnamely“µf‘þ‰²:‘êûµX‘³Üó
!",š
cmsy10¸!‘êúÄR“²is“con•¸ãtin“uousŽ¡at–UUµx“²if“for“all“µ"–Ç>“²0–UUthere“exists“µV‘ÿü¸2‘ǵŸÿ´xŽ‘^9²suc¸ãh“thatŽŸ ‘tëµf‘¾7²(Ž‘¡ÆµV‘8ä²)ŽŽ‘Z¦¸‘ǵf‘¾7²(Ž‘¡Æµx²)ŽŽ‘uQ+‘8à(Ž‘o¸ µ";‘ª¨"²)ŽŽ‘!7µ:ŽŸ€ ïhtml:ï html:Ÿ€ Ñ1.2Ž‘@ A–€ Better“Inš tegral“and“an“In˜tro` duction“to“MeasureŽŸ TheoryŽ¦ïsrc:189tempanal.tex²Let›UUµa;‘ª¨b–Ǹ2“ÄR˜²with˜µa“<“b˜²and˜letŽŽŽŒ‹ (Š R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð4Ž‘ ª1‘ In¾9troAÇduction–T/“User“GuideŽŽ ( ýô ’ ’€©µI‘ ÈâŸûÞÿ±0Ž‘EU²(µf›²)–Ç:=“Ÿòc‡ó ú±u
cmex10«ZŽŸôÜi‘Ç´bŽŸ@‘URaŽŽ‘vµf˜²(µt²)µdt–UU²for“allŽŽ‘ ‡ µf‘Ú§¸2“µC‘aIJ(Ž‘ES[Ž‘ pµa;‘ª¨b²]ŽŽ‘Ù,)ŽŽŽŸ;5‘? ïsrc:194tempanal.texdenote–™rthe“Riemann“in¸ãtegral.“Also‘™slet“¸H‘²(²denote“the“smallest“Çlinear‘ýCsubspaceŽ¤ ‘? ²of–ãbGounded›ãfunctions“on˜[Ž‘ª$µa;‘ª¨b²]ŽŽ‘Yèwhic¸ãh˜is“closed˜under“bGounded˜con•¸ãv“ergence‘ãandŽ¡‘? conš¸ãtains–›µC‘aIJ(Ž‘ES[Ž‘ pµa;‘ª¨b²]ŽŽ‘Ù,)ŽŽ‘gcµ:“²Suc˜h“a“space“exists‘šsince“w˜e“can“tak˜e“the“in˜tersection“o˜v˜erŽ¡‘? all–UUsuc¸ãh“spaces“of“functions.Ž‘? ŸñÇïhtml:ï html:Ÿ;.ÇTheorem‘ÕT1.1.ŽŽ‘E¸Îïsrc:201tempanal.texó'ý ':
cmti10ÒTher›ÿ}'e–нis“an‘оextension“µI‘™ŸÒof“µI‘ ÈâŸü^ÿ±0Ž‘ Òto“¸H‘ésÒsuch“that“µI‘™ Òis“stil‘ ‚Øl“line˜arŽ¡and‘ßi²limŽ‘ÂúŸÿ´nóO!â… cmsy7·!1Ž‘(ÐêµI‘sŠ²(Ž‘WµfŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘á_=›OâµI‘sŠ²(Ž‘Wµf‘²)ŽŽ‘÷Òfor–ßial‘ ‚Øl“µfŸÿ´nŽ‘Á`¸2˜H‘øÒwith“µfŸÿ´nŽ‘Á`¸!˜µf‘òøÒb–ÿ}'ounde“d‘ ‚Øly.‘ßiMor“e“overŽ¡this–¶åextension“is“unique“and‘¶æis“ó(F
C–
cmbxti10Óp‘ÿi>ositive‘MIÒin“the“sense“that“µI‘sŠ²(Ž‘Wµf‘²)ŽŽ‘:
¸‘}²0“Òif“µf‘¸2‘|HŽ¡Òand‘“çµf‘Ú§¸‘Dz0µ:Ž©,õ‘ ïsrc:209tempanal.texÇProQÇof.–!ŲW‘ÿ*ªe›!Æwill“only˜pro•¸ãv“e–!Åthe˜uniqueness“here.˜SuppGose“that˜µJ‘þ²and˜µI‘꧲areŽ¡t•¸ãw“o›UUsuc“h˜extensions˜and˜letŽ¤,õ‘g`î¸K‘ì²:=‘ǸfŽ‘ǵf‘Ú§¸2–ÇH‘ßβ:“µJ‘ á²(Ž‘„pµf‘²)ŽŽ‘'ý=“µI‘sŠ²(Ž‘Wµf‘²)ŽŽ‘3Ž¸gŽŽ‘i^#µ:Ž¡ïsrc:215tempanal.tex²Then–¢’¸K‘Dzis“a›¢“linear“subspace˜closed“under˜bGounded“con•¸ãv“ergence˜whic“h‘¢’con“tainsŽ¤ µC‘aIJ(Ž‘ES[Ž‘ pµa;‘ª¨b²]ŽŽ‘Ù,)ŽŽ‘ ‡zand–Ê¿hence“¸K‘ì²=‘ǸH¶µ:›Ê¾²The“existence“of“µI‘“¡²is“the˜hard“part.“The“pGositivit¸ãyŽ¡of–UUµI‘7²can“bGe“seen“from“the“existence“construction.‘uCz„ ŽŽïhtml:ï html:¦ÒExample‘“ç1.2.ŽŽ‘;é)ïsrc:222tempanal.tex²Here–UUare“some“examples“of“functions“in“¸H‘n²and“their“in¸ãtegrals:ŽŸ?ôïhtml:ï html:Ÿ
9‘8â1.ŽŽŽ‘ ïsrc:225tempanal.texSuppGose‘
[Ž‘Ôªµ z;‘ª¨‘ ‡²]ŽŽ‘¥ã¸‘ú²[Ž‘Á;µa;‘ª¨b²]ŽŽ‘8Ÿµ;–
²then“1ŸÎ:±[Ž‘CŸÎ:´;\±]ŽŽ‘y¸2–úH‘&C²and‘
ŒµI‘sŠŸ÷æb« Ž‘á²1ŸÎ:±[Ž‘CŸÎ:´;\±]ŽŽ‘~æŸ÷æb«ŽŽ‘&>²=“µ‘:˸ ‘³¯µ z:²(Dra¸ãw‘
aŽ¡‘ picture.)ŽŸ€ ïhtml:ï html:Ÿ € ‘8â2.ŽŽŽ‘ ïsrc:229tempanal.texµI‘sŠŸ÷æb« Ž‘á²1ŸÎ:·fŽ‘äŸÎ:´·gŽŽ‘
䪟÷æb«ŽŽ‘!Iû²=‘Ç0µ:ŽŸŽ:ïhtml:ï html:ŸqÆ‘8â²3.ŽŽŽ‘ ïsrc:231tempanal.texThe›õ÷space–õö¸H‘²is“an˜algebra,“i.e.˜if“µf‘ …V;‘ª¨g–.¨¸2‘ÒÏH‘¬²then˜µf‘g“¸2‘ÒÎH¶µ:˜²T‘ÿ*ªo‘õöpro•¸ãv“e˜this,Ž¡‘ rst–UUassume“that“µf‘Ú§¸2‘ǵC‘aIJ(Ž‘ES[Ž‘ pµa;‘ª¨b²]ŽŽ‘Ù,)ŽŽ‘!and“letŽ¤,õ‘y\Ö¸HŸÿ´fŽ‘ö8²:=‘ǸfŽ‘ǵg›"ñ¸2–ÇH‘ßβ:“µf‘g˜¸2“H¶gŽŽ‘PˆÍµ:Ž¡‘ ïsrc:237tempanal.tex²Then–S¸HŸÿ´fŽ‘4t²is“closed›Tunder“bGounded“con•¸ãv“ergence˜and‘Scon“tains˜µC‘aIJ(Ž‘ES[Ž‘ pµa;‘ª¨b²]ŽŽ‘Ù,)ŽŽ‘ ÂandŽ¤ ‘ hence–ˆY¸HŸÿ´fŽ‘K?²=‘¸H¶µ;›ˆZ²i.e.“the˜proGduct“of˜a“con•¸ãtin“uous˜function–ˆYand˜an“elemen¸ãtŽ¡‘ in–UU¸H‘n²is“bac¸ãk“in“¸H¶µ:Ž¡‘ ²No¸ãw–ksuppGose›kthat“µf‘©y¸2‘•êH‘ƒ½²and“again˜let“¸HŸÿ´fŽ‘ š'²bGe˜as“abGo•¸ãv“e.–kBy˜the“sameŽ¡‘ reasoning–"'wš¸ãe“ma˜y‘"(sho˜w“again“that“¸HŸÿ´fŽ‘ö8²=‘ǸH‘:ݲand“this‘"(pro˜v˜es“the“assertion.ŽŸÜpïhtml:ï html:Ÿ #‘8â4.ŽŽŽ‘ ïsrc:245tempanal.texIf–‚Rµf‘ÐJ¸2›¼»H‘›²and“µ˜¸2˜µC‘aIJ(Ž‘ESÄR²)ŽŽ‘nµ;“²then‘‚Qµ‘ˆ¸‘‡µf‘ÐJ¸2˜H¶µ:“²This“a“consequence‘‚Qof“theŽ¡‘ W‘ÿ*ªeierstrass–£Ãappro¸ãximation“Theorem“ïhtml:8.34ï html:.‘£ÂIn“particular“¸jŽ‘jàµf‘¸jŽŽ‘ñû2‘ÇH‘¼y²and“µfŸÿ·Ž‘ ‡²:=ŽŸ
™˜Ÿû&h‘33·jŽ‘“3´f‘ Èä·jŽŽ‘¢S´fŽ‘33ŸŒÊ‰ fe ^AŸ¿˜‘0ç±2ŽŽŽŽ‘*‹¿¸2–ÇH‘n²if‘UUµf‘Ú§¸2“H¶µ:ŽŸrËïhtml:ï html:Ÿ5‘8â²5.ŽŽŽ‘ ïsrc:251tempanal.texIf–¶ÔµfŸÿ´nŽ›Û¸2‘i•H¶µ;“fŸÿ´nŽ˜¸‘i•²0“and“µf‘}%²=‘i–Ÿøü«PŽŸúøÞ‘
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÷Ñ´n±=1ŽŽ‘3úµfŸÿ´nŽ‘ (R²is“a“bGounded“function,“then“µf‘}$¸2‘i–HŽ¡‘ ²andŽŸƒ‘’ ˆv‡Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ’ ˆv‡µI‘sŠ²(Ž‘Wµf‘²)ŽŽ‘ú¦=Ÿóý‘Sf·1ŽŸ€‘ôŸöü«XŽŽŸ†‘Ç´n±=1ŽŽ‘ƒAµI‘sŠ²(Ž‘WµfŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘<%µ:Ž’;qò(1.1)ŽŽŽŸ{³‘ ïsrc:256tempanal.texT‘ÿ*ªo›UUpro•¸ãv“e˜Eq.˜(ïhtml:1.1ï html:)˜w“e˜ha“v“eŽŸõŸóý‘`·1ŽŸ€‘\âŸöü«XŽŽŸ†‘\’3´n±=1ŽŽ‘mN\µI‘sŠ²(Ž‘WµfŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘X•=‘Y
limŽŸs3‘Ç´N‘ À,·!1ŽŽ‘y;µI‘sŠŸîæ\« ŽŸóý‘\´NŽŸ€‘
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^6´n±=1ŽŽ‘_µfŸÿ´nŽ‘q~Ÿîæ\«!ŽŽ‘0"ø²=‘ǵI‘sŠ²(Ž‘Wµf‘²)ŽŽ‘Þ6µ:ŽŽŽŒ‹ 1ê R ýº ‘? ïhtml:ï html:‘41uÐ1.2‘ A–TBetter“Inš¾9tegral“and“an“In˜troAÇduction“to“Measure“Theory‘y¬5ŽŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ
‘8â²6.ŽŽŽ‘ ïsrc:263tempanal.texAs–ÀKan›ÀJexample“of˜item“4.,“1ŸÎ:óqyÀ msbm7ÅQ·\Ž‘
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Ú\ cmmi5³nŽ‘çl·gŽŽ‘“.¸2›ÇH‘Ù ²and“µI‘sŠŸ÷æb« Ž‘á²1ŸÎ:ÅQ·\Ž‘
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¸fŽ‘ϵŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúø⑦-·1ŽŸ‘¦-´n±=1ŽŽ‘-¹²is–Ï
an“en¸ãumeration›Ïof“the˜rational“n•¸ãum“bGers–Ï
in˜the“in¸ãterv‘ÿqÇalŽ¡‘ [µa;‘ª¨b²]µ:Ž©€ ïhtml:ï html:Ÿ € ‘8â²7.ŽŽŽ‘ ïsrc:269tempanal.texLet›¼o¸M–Dz:=“¸fŽ‘ǵA“¸“²[Ž‘Ž5µa;‘ª¨b²]ŽŽ‘" :“1Ÿÿ´AŽ‘ J¨¸2“H¶gŽŽ‘`‰²and˜for‘¼pµA“¸2“M˜²let‘¼pµm‘ª¨²(Ž‘Ž7µA²)ŽŽ‘¸ß:=“µI‘sŠ²(Ž‘W1Ÿÿ´AŽ‘ƒ²)ŽŽ‘háµ:˜²ThenŽ¡‘ ¸M–UU²and“µm“²ha•¸ãv“e–UUthe“follo¸ãwing“propGerties:ŽŸñÇïhtml:ï html:Ÿ
9‘pa)ŽŽŽ‘" ïsrc:274tempanal.tex¸;µ;‘ª¨²[Ž‘qŵa;‘ª¨b²]ŽŽ‘™¸2–ÇM›Êµ²and‘ʶµm‘ª¨²(Ž‘Ž7¸;²)ŽŽ‘8ß=“0˜and˜µm‘ª¨²(Ž‘Ž7[µa;‘ª¨b²])ŽŽ‘Ì·=“µb‘#£¸ ‘#¢µa:‘ʶ²Moreo•¸ãv“er˜µm‘ª¨²(Ž‘Ž7µA²)ŽŽ‘¸ß¸‘Dz0Ž¡‘" for–UUall“µA–Ǹ2“Mµ:Žždïhtml:ï html:Ÿ›é‘Ž7²b)ŽŽŽ‘" ïsrc:278tempanal.texIf–ù*µA›Ø%¸2‘Ø$M‘ù+²then“µAŸü^ÿ´cŽ‘ë¸2˜M“²and“µm‘ª¨²(Ž‘Ž7µAŸü^ÿ´cŽ‘á²)ŽŽ‘ÜÍ=˜µb–¦¸ “µa“¸ ‘¦µm‘ª¨²(Ž‘Ž7µA²)ŽŽ‘œoµ:–ù*²This“follo¸ãwsŽ¡‘" from–UUthe“fact“that“1Ÿÿ´AŸþ ³cŽŽ‘
ì²=‘Ç1–8ภ“²1Ÿÿ´AŽ‘ƒµ:Ž¤ÿïhtml:ï html:Ÿ
€‘ªª²c)ŽŽŽ‘" ïsrc:282tempanal.texIf–´gµA;‘ª¨B›åü¸2‘e‹Mµ;“²then“µA–xA¸\“µB˜¸2›e‹M–´g²since“if“1¡´A·\´BŽ‘®¶²=˜1¡´AŽ‘ûѸ‘xA²1¡´BŽ‘
–t²and“¸H‘Ͳis“anŽ¤ ‘" algebra.Ž¡‘" ïsrc:285tempanal.texÇDenition:‘Á¡²a–kcollection“of“sets“¸M“²satisfying“a)“{“c)“is“called“anŽ¡‘" Çalgebra–UU²of“subsets“of“[Ž‘rµa;‘ª¨b²]ŽŽ‘“Öµ:Ž¦ïhtml:ï html:Ÿ € ‘Ž7²d)ŽŽŽ‘" ïsrc:288tempanal.texMore–generally›if“µAŸÿ´nŽ‘n¸2‘üM˜²then“¸\µAŸÿ´nŽ‘n
¸2‘üM“²since˜1Ÿÿ·\´AŸ ³nŽŽ‘˲=Ž¡‘" limŽ‘/ã‘Ÿÿ´N‘ À,·!1Ž‘I´²1Ÿÿ´AŸ ó†›Z cmr5°1ŽŽ‘X¸–ª¨“Ž‘j§²1Ÿÿ´AŸm³NŽŽ‘EZ²and–UUthe“con•¸ãv“ergence–UUis“bGounded.Ž¡‘" ïsrc:292tempanal.texÇDenition:‘Ùʲa–Y6collection›Y7of“sets“¸M“²satisfying˜a)“{“d)“is“called˜an“µ‘5£Ç{Ž¡‘" algebra.Ž©ñÇïhtml:ï html:Ÿ
9‘ªª²e)ŽŽŽ‘" ïsrc:295tempanal.texIf–uݵAŸÿ´nŽ›n͸2‘ýOMµ;‘uܲthen“¸[µAŸÿ´nŽ˜¸2‘ýOMµ:›uܲIndeed“w•¸ãe˜kno“w–uݸ[µAŸÿ´nŽ‘n͸2‘ýOM˜²i“(Ž‘Yl¸[µAŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘Ù&Ÿúøâ´cŽ‘%éV¸2Ž¡‘" Mµ:‘UU²ButŽ¡’ Œ®š(Ž’ ’)¸[µAŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ’ ¨ãŸúøâ´cŽ’ ®ëܲ=–Ǹ\µAŸûÞÿ´cŽŸ™ánŽŽ‘8–¸2“MŽŸ ‘" ïsrc:301tempanal.tex²bš¸ãy–UUitem“d.“abGo˜v˜e.Ž¦ïhtml:ï html:©
9‘Gf‘ Ç)ŽŽŽ‘" ïsrc:303tempanal.texIf–UUµAŸÿ´nŽ‘8–¸2‘ÇM“²are“pairwise“disjoin¸ãt,“thenŽŸ‘’ …>µm‘ª¨²(Ž‘Ž7¸[µAŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘Õ =Ÿóý‘Sf·1ŽŸ€‘ôŸöü«XŽŽŸ†‘Ç´n±=1ŽŽ‘ƒAµm‘ª¨²(Ž‘Ž7µAŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘
íµ:ŽŸ¸6‘" ïsrc:307tempanal.tex²T‘ÿ*ªo›UUpro•¸ãv“e˜this˜it˜suces˜to˜observ“e˜that˜1Ÿÿ·[´AŸ ³nŽŽ‘•£²=‘ÇŸøü«PŽŸúøÞ‘
US·1ŽŸ%‘
US´n±=1ŽŽ‘‘|²1Ÿÿ´AŸ ³nŽŽ‘jüµ:ŽŸ ïhtml:ï html:Ÿÿý‘p²g)ŽŽŽ‘" ïsrc:310tempanal.tex¸M–Þz²is›Þ{not“2Ÿü^ÿ±[Ž‘CŸü^ÿ´a;b±]ŽŽ‘AÒµ;˜²i.e.“¸M˜²is“not˜all“subset˜of“[µa;‘ª¨b²]µ:˜²This“is˜not“ob¸ãviousŽ¡‘" and–ÔÚit›ÔÛis“not˜pGossible“to˜really“write“do¸ãwn˜an“\explicit"˜subset“[Ž‘›÷µa;‘ª¨b²]ŽŽŽ¡‘" whicš¸ãh–UUis“not“in“¸Mµ:“²W‘ÿ*ªe“will“pro˜v˜e“the“existence“of“suc˜h“sets“later.ŽŸñÇïhtml:ï html:¦‘8â8.ŽŽŽ‘ ïsrc:317tempanal.texÇF‘ÿ
«act:‘¸M–Ö]²is“the›Ö\smallest“µ‘26²{“algebra˜on“[µa;‘ª¨b²]“whicš¸ãh“con˜tains‘Ö\all“sub-Ž¡‘ in¸ãterv‘ÿqÇals–UUof“[µa;‘ª¨b²]µ:ŽŸ€ ïhtml:ï html:Ÿ € ‘8â²9.ŽŽŽ‘ ïsrc:320tempanal.texÇF‘ÿ
«act:‘¾²A‘‘¢bGounded›‘²function–‘±µf‘?A²:‘+±[Ž‘òεa;‘ª¨b²]ŽŽ‘ë<¸!‘+²ÄR“²is˜in“¸H‘ªg²i˜¸fŽ‘‘³µf‘Ú§>‘Ç z¸gŽŽ‘*z¶2‘+²M˜²for“allŽ¡‘ µ‘Ð’¸2‘ÇÄRµ:Žždïhtml:ï html:Ÿ›é‘8á²10.ŽŽŽ‘ ïsrc:324tempanal.texÇF‘ÿ
«act:‘ᦲThe–oinš¸ãtegral“µI‘JR²ma˜y“bGe“reco˜v˜ered“from‘pthe“measure“µm“²b˜y‘pthe“form˜ulaŽŸuX‘!”0µI‘sŠ²(Ž‘Wµf‘²)ŽŽ‘ú¦=‘
ª×limŽŸ‡‘DZmeshŽŽ‘|η!±0ŽŽŸóý‘=Õš·1ŽŸ€‘:™(Ÿöü«XŽŽŸ†‘"α0´<Ÿ °1Ž–ç ´<Ÿ °2Ž“´<Ÿ °3Ž“´<:::ŽŽŽ‘c1óµŸÿ´iŽ›TLµm‘ª¨²(Ž‘Ž7¸fŽ‘
Ž8µx–Ǹ2“²[µa;‘ª¨b²]“:“µŸÿ´iŽ‘dµ<“f‘¾7²(Ž‘¡Æµx²)ŽŽ‘‰¸“µŸÿ´iŽ˜¸gŽŽ’ €§™²)ŽŽ’ †5е:ŽŸŸM‘ ïsrc:336tempanal.tex²W‘ÿ*ªe›J¨will‘J©pro•¸ãv“e˜items˜8.–J©{˜10.˜later˜in“the˜course.˜The“proGof˜if˜Items“9.˜andŽ¡10.–UUis“not“so“hard“and“the“energetic“reader“maš¸ãy“wish“to“giv˜e“them“a“try‘ÿ*ª.ŽŸñÇïhtml:ï html:Ÿ9ÇNotation‘ÕT1.3ŽŽ‘D%>ïsrc:340tempanal.texÒThe›Éc–ÿ}'ol‘ ‚Øle“ction–Êof˜sets“¸M˜Òis“c–ÿ}'al‘ ‚Øle“d˜the˜Bor“el–ʵ‘é¢Ò{“algebr‘ÿ}'a˜onŽ¡²[Ž‘ǵa;‘ª¨b²]ŽŽ‘†öÒand–óthe“function“µm–Dz:“¸M“!“ÄR›óÒis‘óc–ÿ}'al‘ ‚Øle“d˜L“eb“esgue˜me“asur“e.˜We˜wil– ‚Øl˜usual“lyŽŽŽŒ‹ EŠ R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð6Ž‘ ª1‘ In¾9troAÇduction–T/“User“GuideŽŽ ( ýî ‘? Òwrite–Õ3µI‘sŠ²(Ž‘Wµf‘²)ŽŽ‘ÁÒas“Ÿ÷ñÄ«RŽ‘ŽŸŽ<±[Ž‘ ѦŸŽ<´a;b±]ŽŽ‘z‘µf›dm“Òand“µI‘sŠ²(Ž‘Wµf˜²)ŽŽ‘ÁÒwil‘ ‚Øl“b›ÿ}'e“c˜al‘ ‚Øle˜d“the“L˜eb˜esgue“inte˜gr˜al“of“µf‘ …V:“ÒThisŽŸ
@‘? inte–ÿ}'gr“al›&¾may‘&¿b“e˜extende“d–&¿to˜al‘ ‚Øl“p‘ÿ}'ositive˜functions“µf‘:MÒsuch“that˜µf‘²1ŸÎ:·jŽ‘` ŸÎ:´f‘ Èä·jŽŽ‘ o ŸÎ:´MŽ‘V•¸2‘ÇH‘?uÒforŽ¤ ‘? al‘ ‚Øl‘“çµM‘«ÒbyŽ¡’ ¥µI‘sŠ²(Ž‘Wµf‘²)ŽŽ‘ú¦=‘þclimŽŸs3‘Ç´M‘ À,·!1ŽŽ‘ÃæµI‘sŠŸ÷æb« Ž‘áµf‘²1ŸÎ:·jŽ‘` ŸÎ:´f‘ Èä·jŽŽ‘ o ŸÎ:´MŽ‘}Ÿ÷æb«ŽŽ‘0ÑDµ:ŽŸdú‘N ïsrc:354tempanal.tex²Again,–UUwš¸ãe“will“come“bac˜k“to“all“of“this“again“later.Ž¡‘N ïsrc:356tempanal.tex***–UUEnd“of“W¸ãORK“material.“***ŽŽŽŒ‹ Z½ R ýº ‘? ïhtml:ï html:ŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ" Ÿ „ ffP ŽŽŽ¾2ŽŽŸ ïsrc:358tempanal.texSet‘ffOps3erationsŽŸv ïsrc:360tempanal.tex²Let–ºÄN“²denote“the“pGositivš¸ãe“in˜tegers,‘¹ÄNŸÿ±0Ž‘‡‡²:=‘ÄN¸[Ž‘™LfŽ‘™M²0¸gŽŽ‘&± ²bGe“the“non-negativ˜e“in˜te-Ž¤ gers›¼#and‘¼"ÄZ–rn²=“ÄNŸÿ±0Ž‘ùܸ[‘}h²(Ž‘`÷¸ ÄN²)ŽŽ‘ «{˜the‘¼"pGositiv•¸ãe˜and˜negativ“e‘¼"in“tegers˜including‘¼"0µ;˜ÄQŽ¡²the–¯”rational“n•¸ãum“bšGers,–¯”ÄR“²the“real“n•¸ãum“b˜ers‘¯•(see–¯”Chapter“ïhtml:3ï html:“b˜elo¸ãw),“and“ÄC“²theŽ¡complex›UUn•¸ãum“bGers.˜W‘ÿ*ªe˜will˜also˜use˜ÄF˜²to˜stand˜for˜either˜of˜the˜elds˜ÄR˜²or˜ÄCµ:Ž©ñÇïhtml:ï html:Ÿ9ÇNotation‘ÕT2.1ŽŽ‘D%>ïsrc:369tempanal.texÒGiven–)two›)sets“µX‘òqÒand“µY‘ Ž9;˜Òlet“µY‘8äŸü^ÿ´XŽ‘
ü—Òdenote“the˜c–ÿ}'ol› ‚Øle“ction–)of“al˜lŽ¡functions–É
µf‘
³²:‘÷#µX›À¸!‘÷$µY‘ Ž9:“ÒIf–ɵX˜²=‘÷#ÄNµ;“Òwe›É
wil‘ ‚Øl“say˜that“µf‘
²¸2‘÷$µY‘8äŸü^ÿÅNŽ‘&Òis“a˜se–ÿ}'quenc“eŽ¡with–îvalues“in›î‘µY‘'tÒand“often“write˜µfŸÿ´nŽ‘
`Òfor“µf‘¾7²(Ž‘¡Æµn²)ŽŽ‘tÒand“expr‘ÿ}'ess˜µf‘Òas“¸fŽ‘ fŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘Eg·1ŽŸ‘Eg´n±=1ŽŽ‘*µ:Ž¡ÒIf›®jµX‘IJ=‘Æâ¸f²1µ;–ª¨²2µ;“:“:“:Ž‘ÿ÷;“N‘¸gµ;˜Òwe‘®kwil‘ ‚Øl˜write˜µY‘8äŸü^ÿ´NŽ‘} Òin˜plac‘ÿ}'e˜of˜µY‘8äŸü^ÿ·f±1´;±2´;:::Ž‘ ;N‘ À,·gŽ‘,ç®Òand˜denoteŽ¡µf–Ú§¸2›ÇµY‘8äŸü^ÿ´NŽ‘
b|Òby‘“çµf“²=˜(Ž‘ª§µfŸÿ±1Ž–|sµ;›ª¨fŸÿ±2Ž“µ;˜:˜:˜:Ž‘ÿ÷;˜fŸÿ´NŽ‘•±²)ŽŽ‘HWÒwher‘ÿ}'e‘“çµfŸÿ´nŽ‘8–²=˜µf‘²(µn²)µ:ŽŸ
€ ïhtml:ï html:Ÿ € ÇNotation‘ÕT2.2ŽŽ‘D%>ïsrc:379tempanal.texÒMor–ÿ}'e›bLgener“al‘ ‚Øly˜if‘bK¸fŽ‘ bLµXŸÿ´Ž‘yú²:–ǵ‘Ð’¸2“µA¸gŽŽ‘C=¦Òis˜a˜c“ol‘ ‚Øle“ction‘bKof˜non-emptyŽ¡sets,‘álet–àµXŸÿ´AŽ›
@ü²=‘QˆŸøü«QŽŽŸó7‘½l´·2´AŽŽ‘µXŸÿ´Ž‘ ÎÃÒand“µŸÿ´Ž‘ pN²:–½lµXŸÿ´AŽ˜¸!“µXŸÿ´Ž‘ ÎÂÒb›ÿ}'e–áthe“c˜anonic˜al‘àpr˜oje˜ction“mapŽŸúÓdene‘ÿ}'d›IÉby‘IȵŸÿ´Ž–²â²(µx²)‘–=‘•µxŸÿ´Ž“µ:˜ÒIf˜If–IȵXŸÿ´Ž‘ Ãx²=‘•µX‘«Òfor˜some“xe–ÿ}'d˜sp“ac“e˜µX:©;˜Òthen‘IÈwe˜wil‘ ‚ØlŽ¡write‘(Ÿøü«QŽŽŸó7‘“ç´·2´AŽŽ‘صXŸÿ´Ž‘ FÉÒas–“çµX‘ ÈâŸü^ÿ´AŽ‘
àYÒr‘ÿ}'ather“than“µXŸÿ´AŽ‘ƒµ:ŽŸlš‘ ïsrc:387tempanal.tex²Recall–ÍUthat“an›ÍTelemen¸ãt“µx–Ǹ2“µXŸÿ´AŽ‘ På²is–ÍUa“\Çc®9hoice‘8îfunction²,"˜i.e.“an“assignmen¸ãtŽ¡µxŸÿ´Ž‘ðS²:=–=qµx²(µ z²)“¸2“µXŸÿ´Ž‘ O9²for›œXeac¸ãh‘œWµ‘Fë¸2“µA:˜²The‘œWÇaxiom–&ýof‘&þc®9hoice“²(See˜AppGendix‘œWïhtml:Bï html:.)Ž¡states–UUthat“µXŸÿ´AŽ‘ J¨¸6²=›Ç¸;“²pro¸ãvided“that“µXŸÿ´Ž‘yú¸6²=˜¸;“²for“eac¸ãh“µ‘Ð’¸2˜µA:Ž¦ïhtml:ï html:Ÿ9ÇNotation‘ÕT2.3ŽŽ‘D%>ïsrc:394tempanal.texÒGiven–èLa“set›èKµX:©;“Òlet“²2Ÿü^ÿ´XŽ‘‚pÒdenote˜the“Óp‘ÿi>ower‘†4set“Òof“µX‘±-Ò{“the“c‘ÿ}'ol-Ž¡le‘ÿ}'ction–“çof“al‘ ‚Øl“subsets“of“µX‘\ÉÒincluding“the“empty“set.ŽŸ ‘ ïsrc:398tempanal.tex²The–¿€reason“for“writing“the›¿pGo•¸ãw“er–¿€set“of“µX‘ˆb²as“2Ÿü^ÿ´XŽ‘Y¤²is“that˜if“w¸ãe“think“of“2Ž¡meaning‘Lê¸fŽ‘Lë²0µ;‘ª¨²1¸gŽŽ‘i[µ;›Lë²then–Lêan“elemen¸ãt˜of“µa–Ǹ2“²2Ÿü^ÿ´XŽ‘
a<²=“¸fŽ‘Dz0µ;‘ª¨²1¸gŽŽ‘8áŸúøâ´XŽ‘%ï²is˜completely‘LêdeterminedŽ¡b¸ãy–UUthe“setŽ¡‘f§ëµA–Dz:=“¸fŽ‘ǵx“¸2“µX‘ú²:“µa²(µx²)“=“1¸gŽŽ‘Xö“µX:©:ŽŸO§ïsrc:404tempanal.tex²In›ëîthis‘ëíw•¸ãa“y˜elemen“ts–ëíin˜¸fŽ‘ëï²0µ;‘ª¨²1¸gŽŽ‘]·Ÿúøâ´XŽ‘%ãȲare˜in“one˜to“one˜correspGondence“with˜subsetsŽ¡of‘UUµX:©:Ž¡‘ ïsrc:407tempanal.tex²F‘ÿ*ªor‘UUµA–Ǹ2“²2Ÿü^ÿ´XŽ‘
ïy²letŽŽŽŒ‹ ^, R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð8Ž‘ ª2‘ Set‘TOpAÇerationsŽŽ ( ýî ’ ¢lµAŸûÞÿ´cŽ‘Ùù²:=–ǵX‘¸n‘8àµA“²=“¸fµx“¸2“µX‘ú²:“µx‘ãŠ=ŽŽ“¸2ŽŽŽŽ‘8ܵA¸gŽ¤¢«‘? ïsrc:411tempanal.tex²and–UUmore“generally“if“µA;‘ª¨B‘G‰¸‘ǵX‘7²letŽ©¢ª’ ˜µB‘¹Q¸n›8àµA–Dz:=“¸fµx“¸2“µB‘G‰²:“µx‘ãŠ=ŽŽ“¸2ŽŽŽŽ‘8ܵA¸g“²=“µA˜¸\˜µB‘ €qŸûÞÿ´cŽ‘“Rµ:Ž¡‘? ïsrc:415tempanal.tex²W‘ÿ*ªe–UUalso“dene“the“symmetric“dierence“of“µA“²and“µB‘ÕƲb¸ãyŽ¡’ ªµµA¸4µB‘G‰²:=‘Ç(Ž‘ª§µB‘¹Q¸n‘8àµA²)ŽŽ‘%ϸ[‘8à²(Ž‘oµA–8à¸n“µB‘ €q²)ŽŽ‘$²¡µ:Ž¦‘? ïsrc:419tempanal.tex²As–(¢usual“if“¸fŽ‘ (£µAŸÿ´Ž‘²â¸gŽŽ‘[‡Ÿÿÿ´·2´IŽ‘.±/²is“an“indexed“collection‘(¡of“subsets“of“µX‘ñ„²w¸ãe“dene“theŽ© ‘? union–UUand“the“inš¸ãtersection“of“this“collection“b˜yŽ¡’ ƒÎ¸[Ÿÿ´·2´IŽ‘-µAŸÿ´ŽŽŽŽ’ ¨ë{²:=–Ǹfµx“¸2“µX‘ú²:“¸9“µ‘Ð’¸2“µI‘åO¸3‘qÀµx“¸2“µAŸÿ´Ž‘²â¸g‘UU²andŽŽŽŽŽŽ¤ ’ ƒÎ¸\Ÿÿ´·2´IŽ‘-µAŸÿ´ŽŽŽŽ’ ¨ë{²:=–Ǹfµx“¸2“µX‘ú²:“µx“¸2“µAŸÿ´Ž‘]Š¸8“µ‘Ð’¸2“µI‘sŠ¸gµ:ŽŽŽŽ‘? Ÿ
ï html:ŸfdÇNotation‘ÕT2.4ŽŽ‘D%>ïsrc:431tempanal.texÒWe–”ìwil‘ ‚Øl“also“write“Ÿøü«`Ž‘µŸ ´·2´IŽ‘ÞcµAŸÿ´Ž–GÎÒfor‘”ë¸[Ÿÿ´·2´IŽ‘-µAŸÿ´Ž“Òin–”ìthe“c‘ÿ}'ase“thatŽ¦¸fŽ‘ µAŸÿ´Ž‘²â¸gŽŽ‘2åŸÿÿ´·2´IŽ‘)óÒÒar–ÿ}'e›“çp“airwise˜disjoint,˜i.e.˜µAŸÿ´Ž‘ë¸\‘8àµAŸÿ´Ž‘+þ²=–Ǹ;˜Òif˜µ‘Ð’¸6²=“µ‘ ‡:ŽŸÈ ‘ ïsrc:437tempanal.tex²Notice–‰ythat“¸[“²is›‰xclosely“related“to“¸9“²and“¸\“²is“closely˜related“to“¸8µ:“²F‘ÿ*ªorŽ¦example–UUlet“¸fŽ‘UVµAŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘FÖ·1ŽŸ‘FÖ´n±=1ŽŽ‘--¬²bGe“a“sequence“of“subsets“from“µX‘7²and“deneŽŸ¢ª‘-8å¸fŽ‘28æµAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²i.o.ŽŽ‘+¸gŽŽŽŽŽ‘Wœ+²:=–Ǹfµx“¸2“µX‘ú²:“#‘ª¨¸fŽ‘ª©µn“²:“µx“¸2“µAŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽ‘;© ²=“¸1g‘UU²andŽŽŽŽŽŽ¡‘+ ¸fŽ‘0 µAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²a.a.ŽŽ‘U¸gŽŽŽŽŽ‘Wœ+²:=–Ǹfµx“¸2“µX‘ú²:“µx“¸2“µAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²for‘UUallŽŽ‘%øžµn–UU²sucien¸ãtly“largeŽŽ‘J‡%¸g².ŽŽŽŽŽŽ¤¢«ïsrc:446tempanal.tex(One–;should›:read“¸fŽ‘<µAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²i.o.ŽŽ‘+¸gŽŽ‘-¤£²as“µAŸÿ´nŽ‘u¸²innitely“often“and˜¸fŽ‘;µAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²a.a.ŽŽ‘U¸gŽŽ‘/݇²as˜µAŸÿ´nŽ‘u¹²almostŽ¦alw•¸ãa“ys.)–UUThen“µx–Ǹ2“fŽ‘ǵAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²i.o.ŽŽ‘+¸gŽŽ‘-¸›²iŽ¡‘mv¸8µN›Þ3¸2‘ÇÄNŽ‘
UQ¸9‘UUµn–Ǹ“µN˜¸3“µx“¸2“µAŸÿ´nŽŽ©¢ªïsrc:452tempanal.tex²and–UUthis“ma¸ãy“bGe“expressed“asŽ¡‘jˆö¸fŽ‘oˆ÷µAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²i.o.ŽŽ‘+¸gŽŽ’ ”ì<²=‘Ǹ\ŸûÞÿ·1ŽŸ™á´N‘ À,±=1ŽŽ‘[Ÿÿ´n·´NŽ‘ µAŸÿ´nŽ‘q~µ:Ž¡ïsrc:456tempanal.tex²Similarly‘ÿ*ª,‘UUµx–Ǹ2“fŽ‘ǵAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²a.a.ŽŽ‘U¸gŽŽ‘/ñ²iŽ¦‘i'î¸9–ǵN‘Þ3¸2“ÄN“¸3“8“µn“¸“µN‘ ˆâ;‘ª¥x“¸2“µAŸÿ´nŽŽ¡ïsrc:460tempanal.tex²whic•¸ãh›UUma“y˜bGe˜written˜asŽ¡‘il„¸fŽ‘nl…µAŸÿ´nŽ‘ÆÓ²a.a.ŽŽ‘U¸gŽŽ’ –®²=‘Ǹ[ŸûÞÿ·1ŽŸ™á´N‘ À,±=1ŽŽ‘\Ÿÿ´n·´NŽ‘ µAŸÿ´nŽ‘q~µ:ŽŸoïhtml:ï html:Ÿ 3¥ÇDenition‘ÕT2.5.ŽŽ‘J—ïsrc:467tempanal.texÒA‘set–$µX‘ÔÒis›%said“to˜b‘ÿ}'e“Óc‘ÿi>ountable˜Òif“is˜empty“or˜ther‘ÿ}'e“is˜anŽŸ inje›ÿ}'ctive–“çfunction“µf‘Ú§²:–ǵX‘ú¸!“ÄNµ;–“çÒotherwise“µX‘\ÉÒis“said“to“b˜e“Óunc‘ÿi>ountable.ŽŸ
”rïhtml:ï html:¤
9ÇLemma‘ÕT2.6ŽŽ‘:xÏïsrc:473tempanal.tex(Basic–ÕTPropQÇerties“of“Coun®9table“Sets).ŽŸ
H ïhtml:ï html:Ÿ € ‘Ò€Ò1.ŽŽŽ‘ ïsrc:476tempanal.texIf›“çµA–Ǹ“µX–\ÉÒis˜a˜subset˜of˜a˜c‘ÿ}'ountable˜set˜µX“Òthen˜µA˜Òis˜c‘ÿ}'ountable.ŽŸñÇïhtml:ï html:¡‘Ò€2.ŽŽŽ‘ ïsrc:478tempanal.texA¾“ny–“çinnite“subset“µ–Ǹ“ÄN–“çÒis“in“one“to“one“c–ÿ}'orr“esp“ondenc“e–“çwith“ÄNµ:ŽŽŽŒ‹ lt R ýº ‘? ïhtml:ï html:’ éÐhÐ2‘ Set‘TOpAÇerations‘y¬9ŽŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ
‘Ò€Ò3.ŽŽŽ‘ ïsrc:481tempanal.texA‘vunon-empty›v|set–v}µX‘?^Òis“c‘ÿ}'ountable˜i“ther‘ÿ}'e˜exists“a˜surje‘ÿ}'ctive“map,˜µg‘"ñ²:–ÇÄN“¸!Ž¤ ‘ µX:©:Žïhtml:ï html:¡‘Ò€Ò4.ŽŽŽ‘ ïsrc:484tempanal.texIf–“çµX‘\ÉÒand“µY‘ÌËÒar›ÿ}'e“c˜ountable“then“µX‘¸‘8àµY‘ÌËÒis“c˜ountable.ŽŸñÇïhtml:ï html:Ÿ
9‘Ò€5.ŽŽŽ‘ ïsrc:486tempanal.texSupp›ÿ}'ose–for“e˜ach“µm‘²í¸2‘²îÄN“Òthat‘µAŸÿ´mŽ‘®±Òis“a“c˜ountable“subset“of‘a“set“µX:©;“ÒthenŽ¡‘ µA–Dz=“¸[Ÿü^ÿ·1ŽŸl´m±=1ŽŽ‘¸žµAŸÿ´mŽ‘
÷Òis–\c›ÿ}'ountable.‘[In“short,“the“c˜ountable“union‘[of“c˜ountable“setsŽ¡‘ is–“çstil‘ ‚Øl“c‘ÿ}'ountable.Žïhtml:ï html:¡‘Ò€6.ŽŽŽ‘ ïsrc:490tempanal.texIf–máµX‘6ÃÒis›màan“innite“set“and“µY‘¦ÅÒis˜a“set“with“at“le‘ÿ}'ast“two˜elements,“then“µY‘8äŸü^ÿ´XŽŽ¡‘ Òis–“çunc›ÿ}'ountable.“In“p˜articular“²2Ÿü^ÿ´XŽ‘.Òis“unc˜ountable“for“any“innite“set“µX:©:ŽŸ¦f‘ ïsrc:497tempanal.texÇProQÇof.–Aê²1.›AéIf“µf‘Ú§²:–ǵX‘ú¸!“ÄN˜²is–Aêan“injectiv¸ãe˜map“then“so˜is“the˜restriction,“µf‘¸jŸÿ´AŽ‘ƒµ;Ž¡²of–UUµf›hä²to“the“subset“µA:“²2.“Let“µf‘¾7²(Ž‘¡Æ1)ŽŽ‘Ln=‘ÇminŽ‘nµ“²and“dene“µf˜²inductivš¸ãely“b˜yŽ¤¦f‘W抵f›²(µn–8à²+“1)–Ç=“minŽŽ‘nµ–8à¸n“fŽ‘8áµf˜²(1)µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨f˜²(µn²)¸gŽŽ‘Jµ:Ž¡ïsrc:503tempanal.tex²Since–tµ›t
²is“innite˜the“proGcess˜con•¸ãtin“ues–tindenitely‘ÿ*ª.“The˜function“µf‘
Ù²:–úIÄN‘úJ¸!“µŽ© ²dened–UUthis“w•¸ãa“y–UUis“a“bijection.“3.“If“µg‘"ñ²:–ÇÄN“¸!“µX‘7²is–UUa“surjectiv¸ãe“map,“letŽ¡‘>“tµf‘²(µx²)–Ç=“minŽŽ›nµg[ÙŸûÞÿ· ±1Ž‘Âõ²(Ž‘¦„¸fŽ‘¦…µx¸gŽŽ‘ ]¢²)ŽŽ‘'I=“minŽŽ˜¸fŽ‘oµn“¸2“ÄN“²:“µf‘²(µn²)“=“µx¸gŽŽ‘i[ǵ:Ž¡ïsrc:510tempanal.tex²Then›9˜µf‘Ú§²:–ǵX‘ú¸!“ÄN–9™²is˜injectivš¸ãe“whic˜h–9˜com˜bined“with›9™item“2.˜(taking“µ–Dz=“µf‘²(µX‘ Èâ²))Ž¦shoš¸ãws–2ŠµX‘ûm²is“coun˜table.‘2‹Con˜v˜ersely“if–2‹µf‘KT²:‘7ĵX‘ §¸!‘7ÅÄN“²is–2Šinjectiv˜e“let‘2‹µxŸÿ±0Ž‘´8¸2‘7ŵX‘ûl²bGeŽ¦a–Qxed›Q®pGoin¸ãt“and“dene˜µg‘Ç‚²:–k©ÄN‘kª¸!“µX‘²b¸ãy˜µg[Ù²(µn²)“=“µf‘Ÿü^ÿ· ±1Ž‘в(µn²)˜for‘Qµn“¸2‘kªµf‘¾7²(Ž‘¡ÆµX‘ Èâ²)ŽŽ‘èÈandŽ¦µg[Ù²(µn²)–Ç=“µxŸÿ±0Ž‘¡²otherwise.–$¦4.›$¥Let“us“rst“construct“a˜bijection,“µh;“²from“ÄN“²to˜ÄN‘׃¸‘ׂÄNµ:Ž¦²T‘ÿ*ªo–UUdo“this“put“the“elemenš¸ãts“of“ÄN–8ณÄN–UU²in˜to“an“arra˜y“of“the“formŽŸ*lŸâæT‘rT«0ŽŸ™¦‘rTBŽ¤ ‘rTBŽ¡‘rTBŽŸfi‘rT@ŽŽŸê’z‘|UU²(1µ;‘ª¨²1)Ž’ •Ž:(1µ;‘ª¨²2)Ž’ ®Ç(1µ;‘ª¨²3)Ž’ È µ:–ª¨:“:ŽŽŽ¦‘|UU²(2µ;‘ª¨²1)Ž’ •Ž:(2µ;‘ª¨²2)Ž’ ®Ç(2µ;‘ª¨²3)Ž’ È µ:–ª¨:“:ŽŽŽ¦‘|UU²(3µ;‘ª¨²1)Ž’ •Ž:(3µ;‘ª¨²2)Ž’ ®Ç(3µ;‘ª¨²3)Ž’ È µ:–ª¨:“:ŽŽŽŸ§ÔŸø ’ †9².Ž¤ ’ †9.Ž¡’ †9.ŽŽŽŸø ’ ŸG.Ž¤ ’ ŸG.Ž¡’ ŸG.ŽŽŽŸø ’ ¸€.Ž¤ ’ ¸€.Ž¡’ ¸€.ŽŽŽŸù ’ ÈŽ<.ŽŽ’ ÌqÉŸü .Ž’ ÐUVŸÿ .ŽŽŽŽŽŸâæT’ Õ*««1ŽŸ™¦’ Õ*«CŽ¤ ’ Õ*«CŽ¡’ Õ*«CŽŸfi’ Õ*«AŽŽŽŽŸ*úPïsrc:528tempanal.tex²and–‰–then“\counš¸ãt"“these“elemen˜ts“b˜y“coun˜ting“the“sets“¸fŽ‘‰—²(µi;‘ª¨j‘ ’‹²)–Ç:“µi–8à²+“µj‘Y£²=‘ǵkP—¸gŽŽ‘TúP²oneŽ¦at–‚.a“time.›‚-F‘ÿ*ªor“example“let“µh‘ª¨²(Ž‘Ž71)ŽŽ‘ƒ=‘Ö(Ž‘õe1µ;‘ª¨²1)ŽŽ‘õcµ;“h²(2)‘Ö=‘×(2µ;–ª¨²1)µ;˜h“²(Ž‘Ž73)ŽŽ‘ƒž=›Ö(1µ;“²2)µ;‘‚.h²(4)˜=Ž¦(3µ;›ª¨²1)µ;‘âh²(5)–èW=“(2µ;˜²2)µ;‘âh²(6)“=“(1µ;˜²3)µ;–â²etc.“etc.“If“µf‘ûæ²:‘èWÄN‘Ǹ!Ž›èTµX‘ËIJand“µg‘D0²:‘èWÄN‘Ǹ!Ž˜µY‘;ƲareŽ¦surjectiv¸ãe–årfunctions,›åsthen“the˜function“(Ž‘ɵf‘Lo¸‘8àµg[Ù²)ŽŽ‘%˜+¸›˜óµh–·H²:“ÄN‘Ǹ!Ž‘·EµX‘aÕ¸˜µY‘W²is‘årsurjectiv¸ãeŽ¦where‘O6(Ž‘2ŵf‘Lo¸‘8àµg[Ù²)ŽŽ‘#£(µm;›ª¨n²)–Ç:=“(µf‘¾7²(Ž‘¡Æµm²)µ;˜g[Ù²(µn²))ŽŽ‘0Ú0for–O6all“(Ž‘2ŵm;˜n²)ŽŽ‘ ‚¸2‘ÇÄN–8ณÄNŽ‘q¾µ:›O5²5.“If“µA–Dz=“¸;˜²then‘O6µAŽ¦²is–—ƒcounš¸ãtable“b˜y‘—‚denition“so“w˜e“ma˜y›—‚assume“µA–Ǹ6²=“¸;µ:–—ƒ²With“out˜loss“of“generalit¸ãyŽ¦w•¸ãe›dºma“y˜assume‘d»µAŸÿ±1Ž‘]3¸6²=‘àÁ¸;˜²and˜b“y˜replacing‘d»µAŸÿ´mŽ‘
ýU²b“y˜µAŸÿ±1Ž‘á-²if˜necessary‘d»w“e˜ma“y˜alsoŽ¦assume–Ö[µAŸÿ´mŽ‘6¼¸6²=›ž ¸;“²for“all“µm:“²F‘ÿ*ªor“eac¸ãh“µm˜¸2‘ž!ÄN“²let“µaŸÿ´mŽ‘6¼²:˜ÄN‘Ǹ!Ž‘žµAŸÿ´mŽ‘nö²bGe“a“surjectiv¸ãeŽ¦function–„and›ƒthen“dene˜µf‘ž²:›ÿÄN–µ©¸“ÄN˜¸!˜[Ÿü^ÿ·1ŽŸl´m±=1ŽŽ‘¸žµAŸÿ´mŽ‘©²b¸ãy–„µf‘²(µm;‘ª¨n²)˜:=‘ÿµaŸÿ´mŽ‘˜›²(µn²)µ:“²TheŽ¦function–óµf‘¤‚²is“surjectiv¸ãe‘òand“hence“so“is“the“compGosition,“µf‘t-¸›`žµh–*t²:“ÄN“¸!“µX‘)¸˜µY‘ Ž9;Ž¦²where›¦zµh–Dz:“ÄN“¸!“ÄNŽ‘!¢=¸‘ Û-ÄN˜²is˜the˜bijection˜dened˜abGo•¸ãv“e.˜6.˜Let˜us˜bGegin˜b“y˜sho“wingŽ¦2Ÿü^ÿÅNŽ‘UM²=‘ǸfŽ‘Dz0µ;‘ª¨²1¸gŽŽ‘8áŸúøâÅNŽ‘#:¤²is–sŽuncounš¸ãtable.“F‘ÿ*ªor“sak˜e‘sof“con˜tradiction“suppGose“µf‘Ú§²:–ÇÄN“¸!“fŽ‘Dz0µ;‘ª¨²1¸gŽŽ‘8áŸúøâÅNŽŽ¦²is–vîa“surjection“and“write“µf‘¾7²(Ž‘¡Æµn²)ŽŽ‘üÝas“(Ž‘Z}µfŸÿ±1Ž‘'²(Ž‘
ªµn²)ŽŽ–™{µ;›ª¨fŸÿ±2Ž‘'²(Ž‘
ªµn²)ŽŽ“µ;˜fŸÿ±3Ž‘'²(Ž‘
ªµn²)ŽŽ“µ;˜:˜:˜:Ž‘ÿ÷²)ŽŽ‘wȵ:“²No¸ãw“dene“µa‘ÿ¸2ŽŸ
Y›fŽ‘ ²0µ;‘ª¨²1¸gŽŽ‘qÉŸúøâÅNŽ‘"…t²b¸ãy–…vµaŸÿ´nŽ‘
3v²:=›Áø1‘Ÿ¸ ‘ µfŸÿ´nŽ‘q~²(µn²)µ:“²By‘…wconstruction“µfŸÿ´nŽ‘&²(Ž‘
ÿµµn²)ŽŽ‘¥Õ¸6²=˜µaŸÿ´nŽ‘ öô²for“all‘…wµn“²and“soŽ¦µa‘ãŠ=ŽŽ‘Ǹ2ŽŽŽŽ‘8ܵf‘¾7²(Ž‘¡ÆÄN²)ŽŽ‘háµ:–@s²This“conš¸ãtradicts“the“assumption“that‘@tµf‘T²is“surjectiv˜e“and“sho˜ws“2Ÿü^ÿÅNŽŽ¦²is–‚àuncoun¸ãtable.›‚ßF‘ÿ*ªor“the˜general“case,“since˜µYŸü^ÿ‘8ä´XŽŸl±0ŽŽ‘渑þµY‘8äŸü^ÿ´XŽ‘
Uè²for“an¸ãy˜subset“µYŸÿ±0Ž‘q¸‘ÿµY‘ Ž9;ŽŽŽŒ‹
{ R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð10Ž‘ ª2‘ Set‘TOpAÇerationsŽŽ ( ýî ‘? ²if–ŽGµYŸü^ÿ‘8ä´XŽŸl±0ŽŽ‘
aO²is›ŽFuncoun¸ãtable“then“so“is“µY‘8äŸü^ÿ´XŽ‘ Óµ:“²In˜this“w•¸ãa“y›ŽGw“e˜ma“y˜assume˜µYŸÿ±0Ž‘
¹²is˜a˜t“w“oŽ¤ ‘? pGoin•¸ãt›‘Øset‘‘Ùwhic“h˜ma“y‘‘Ùas˜w“ell˜bGe‘‘ÙµYŸÿ±0Ž‘¨e²=‘+ó¸fŽ‘+ô²0µ;‘ª¨²1¸gŽŽ‘Hdµ:˜²Moreo“v“er,˜since–‘ÙµX‘Zº²is“an˜inniteŽ¡‘? set›Ç|w•¸ãe‘Ç{ma“y˜nd˜an‘Ç{injectiv“e˜map˜µx–0 ²:“ÄN“¸!“µX‘^²and˜use–Ç{this˜to˜set“up˜anŽ¡‘? injection,›ôµi–Dz:“2Ÿü^ÿÅNŽ‘UM¸!“²2Ÿü^ÿ´XŽ‘
Ž2²b¸ãy‘ôsetting˜µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µa²)ŽŽ‘ež(Ž‘I-µxŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘&n=“µaŸÿ´nŽ‘eŒ²for˜all‘ôµn“¸2“ÄN˜²and˜µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µa²)ŽŽ‘ež(µx²)“=“0Ž¡‘? if–Ÿ&µx‘ 8=ŽŽ‘ìƸ2ŽŽŽŽ‘„9fŽ‘„:µxŸÿ´nŽ‘8–²:–ǵn“¸2“ÄN¸gŽŽ‘I$µ:›Ÿ%²If“2Ÿü^ÿ´XŽ‘9J²w•¸ãere˜coun“table‘Ÿ&w“e˜could–Ÿ&nd“a˜surjectiv¸ãe“mapŽ¡‘? µf‘Ú§²:–Ç2Ÿü^ÿ´XŽ‘
a<¸!“ÄN–,Û²in‘,Úwhicš¸ãh“case“µf‘ûz¸‘çìµi–Dz:“2Ÿü^ÿÅNŽ‘UM¸!“ÄN–,Û²w˜ould‘,ÚbGe“surjectiv˜e“as‘,Úw˜ell.“Ho˜w˜ev˜erŽ¡‘? this–UUis“impGossible“since“wš¸ãe“ha˜v˜e“already“seed“that“2Ÿü^ÿÅNŽ‘㊲is“uncoun˜table.‘øÊ„ ŽŽ¡‘N ïsrc:567tempanal.texW‘ÿ*ªe–¸Iend“this›¸Hsection“with“some“notation˜whic¸ãh“will“bGe“used˜frequen¸ãtly“inŽ¡‘? the‘UUsequel.Ž‘? ŸñÇïhtml:ï html:Ÿ9ÇNotation‘ÕT2.7ŽŽ‘D%>ïsrc:570tempanal.texÒIf›“çµf‘Ú§²:–ǵX‘ú¸!“µY‘ÌËÒis˜a˜function˜and˜¸E‘¬“²2Ÿü^ÿ´YŽ‘
€.ÒletŽ¤ ‘Wµf‘ŸûÞÿ· ±1Ž›Ð¸E‘¬²:=–ǵf‘ŸûÞÿ· ±1Ž‘
z«²(Ž‘^:¸E‘ äø²)ŽŽ‘4÷:=“¸fµf‘ŸûÞÿ· ±1Ž˜²(µE‘ “²)¸jµE‘Z¥¸2“E‘ äøgµ:Ž¡ïsrc:576tempanal.texÒIf–“ç¸G‘^é‘Dz2Ÿü^ÿ´XŽ‘š$µ;“ÒletŽ© ‘fó¦µfŸÿ·Ž‘˜ä¸G‘^é²:=–ǸfµA“¸2“²2ŸûÞÿ´YŽ‘ìG¸jµf‘ŸûÞÿ· ±1Ž‘в(µA²)“¸2“G‘ —Ñgµ:Ž¤
€ ïhtml:ï html:¡ÇDenition‘ÕT2.8.ŽŽ‘J—ïsrc:584tempanal.texÒL–ÿ}'et›\¸E‘y™‘” ²2Ÿü^ÿ´XŽ‘Ÿ€Òb“e˜a˜c“ol‘ ‚Øle“ction˜of˜sets,˜µA–”¡¸‘” µX:©;˜iŸÿ´AŽ‘
1²:“µA‘” ¸!“µX‘Î>Òb‘ÿ}'eŽ¦the–“çÓinclusion‘$ømap“Ò(µiŸÿ´AŽ‘ƒ²(µx²)–Ç=“µx–“çÒfor“al‘ ‚Øl“µx–Ǹ2“µA²)‘“çÒandŽŸ ‘`Û ¸EŸÿ´AŽ‘ J¨²=–ǵiŸû¸ä· ±1ŽŸ7s´AŽŽ‘
¼t²(¸E‘ äø²)“=“¸fŽ‘ǵA–8à¸\“µE–Z¥²:›ÇµE“¸2˜E‘ äøgŽŽ‘K³µ:ŽŸðWïhtml:ï html:Ÿ©Ñ2.1Ž‘@ ExercisesŽŸ ïsrc:596tempanal.tex²Let›eµf‘ôî²:–á_µX‘ªA¸!“µY‘ý²b•Ge‘ea˜function˜and˜¸fµAŸÿ´iŽ‘TL¸gŸÿ´i·2´IŽ‘3Š²b“e˜an˜indexed˜family‘eof˜subsets˜ofŽ¦µY‘ Ž9;–UU²vš¸ãerify“the“follo˜wing“assertions.ŽŸñÇïhtml:ï html:Ÿ9ÇExercise‘ÕT2.1.ŽŽ‘Bwbïsrc:600tempanal.tex²(¸\Ÿÿ´i·2´IŽ–ÎpµAŸÿ´iŽ‘TL²)Ÿü^ÿ´cŽ‘Ùù²=‘Ǹ[Ÿÿ´i·2´IŽ“µAŸü^ÿ´cŽŸ;ZiŽŽ‘áµ:ŽŸšYïhtml:ï html:Ÿ e§ÇExercise‘ÕT2.2.ŽŽ‘Bwbïsrc:604tempanal.tex²SuppGose–UUthat“µB‘G‰¸›ÇµY‘ Ž9;“²sho¸ãw“that“µB‘¹Q¸n‘8à²(¸[Ÿÿ´i·2´IŽ–ÎpµAŸÿ´iŽ‘TL²)˜=˜¸\Ÿÿ´i·2´IŽ“²(µB‘¹Q¸n‘8àµAŸÿ´iŽ‘TL²)µ:Ž¤€ ïhtml:ï html:© € ÇExercise‘ÕT2.3.ŽŽ‘Bwbïsrc:609tempanal.texµf‘Ÿü^ÿ· ±1Ž‘в(¸[Ÿÿ´i·2´IŽ›ÎpµAŸÿ´iŽ‘TL²)–Ç=“¸[Ÿÿ´i·2´IŽ˜µf‘Ÿü^ÿ· ±1Ž‘в(µAŸÿ´iŽ‘TL²)µ:Ž¡ïhtml:ï html:¦ÇExercise‘ÕT2.4.ŽŽ‘Bwbïsrc:613tempanal.texµf‘Ÿü^ÿ· ±1Ž‘в(¸\Ÿÿ´i·2´IŽ›ÎpµAŸÿ´iŽ‘TL²)–Ç=“¸\Ÿÿ´i·2´IŽ˜µf‘Ÿü^ÿ· ±1Ž‘в(µAŸÿ´iŽ‘TL²)µ:Ž¡ïhtml:ï html:¦ÇExercise‘ÕT2.5.ŽŽ‘Bwbïsrc:617tempanal.tex²Find–3ÿa›3þcoun¸ãter“example˜whicš¸ãh“sho˜ws“that‘3þµf›²(µC‘P¸\‘ö3µDG²)–Ç=“µf˜²(µC‘ ·²)‘ö4¸\ŽŸ µf‘²(µDG²)–UUneed“not“hold.ŽŽŽŒ‹ ‘0 R ýº ‘? ïhtml:ï html:ŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ" Ÿ „ ffP ŽŽŽ¾3ŽŽŸ ïsrc:621tempanal.texA–ffBrief“Review“of“Real“and“Complex“NumŒÌbs3ersŽŸv ïsrc:623tempanal.tex²Although–:it›9is“assumed˜that“the˜reader“of“this˜b•Go“ok–:is˜familiar“with˜the“prop-Ž¤ erties–²Jof›²Ithe“real˜n•¸ãum“bGers,–²JÄRµ;“²nev¸ãertheless˜I‘² feel“it“is˜instructiv¸ãe“to˜dene“themŽ¡here›Îand‘Ísk•¸ãetc“h˜the˜dev“elopmen“t–Íof˜their˜basic“propGerties.˜It˜will“most˜cer-Ž¡tainly–¢åbGe“assumed›¢äthat“the“reader“is“familiar“with˜basic“algebraic“propGertiesŽ¡of–UUthe“natural“n•¸ãum“bšGers–UUÄN“²and“the“ordered“eld“of“rational“n•¸ãum“b˜ers,ŽŸqÌ‘göUÄQ‘Dz=Ž‘{öQŸôæ`«nŽŸù<$’ ƒÔ0µmŽ’ ƒÔ0Ÿw‰ fe Ç·Ÿ (Ö‘cnŽŽŽŽ’ –2²:–ǵm;‘ª¨n“¸2“ÄZ“²:“µn“¸6²=“0Ÿôæ`«oŽŽ’ åBµ:ŽŸÍÐïsrc:632tempanal.tex²As–UUusual,“for“µq‘"ñ¸2‘ÇÄQµ;“²w¸ãe“deneŽŸqΑ}3¸jŽ‘ãPµq[Ù¸jŽŽ’ ŠD/²=‘ÇŸñæ^«ŽŸùæd‘ª¨µqŽ‘`á²ifŽŽŽ‘%™Çµq‘"ñ¸‘Dz0ŽŽ¡‘Ǹ µqŽ‘`á²ifŽŽŽ‘$68µq‘"ñ¸‘Dz0µ:ŽŽŽŽŽŸòÔïsrc:642tempanal.tex²Notice–Èthat›Çif“µq‘g¸2‘+ÄQ“²and˜¸jŽ‘Þäµq[Ù¸jŽŽ‘ƒÖŸü‘¸ä±1Ž‘>^Ÿ£&‰ fe ñ~Ÿ¿˜´nŽŽŽŽ‘zײfor“all“µn;˜²then“µq‘g²=‘+0µ:“²Indeed˜µq‘g¸6²=‘+0“thenŽ¡¸jŽ‘ǵq[Ù¸jŽŽ‘º–²=Ÿü‘Œå´mŽ‘ŒåŸ£&‰ fe ›Ÿ¿˜‘nŽŽŽŽ‘™²for‘Fåsome›Fæµm;‘ª¨n–Y²¸2“ÄN˜²and˜hence‘Få¸jŽ‘µq[Ù¸jŽŽ‘{Ÿü‘k±1Ž‘ŒåŸ£&‰ fe ñ~Ÿ¿˜´nŽŽŽŽ‘±–µ:˜²A‘F¨similar‘Fåargumen•¸ãt˜sho“wsŽ¡µq›"ñ¸‘Dz0–Ïæi“µq˜¸›Ç Ÿü‘¹±1Ž‘33Ÿ£&‰ fe ñ~Ÿ¿˜´nŽŽŽŽ‘
'ʲfor“all“µn˜¸2˜ÄNµ:“²These‘Ïåtrivial“remarks“will“bGe“used“in“the“futureŽ¡without–UUfurther“reference.Žïhtml:ï html:Ÿ ÇDenition‘ÕT3.1.ŽŽ‘J—ïsrc:650tempanal.texÒA‘Àˆse–ÿ}'quenc“e‘À¾¸fŽ‘À¿µqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘©·1ŽŸ‘©´n±=1ŽŽ‘)¨¸‘ÇÄQ›1¬Óc–ÿi>onver“ges˜Òto–À¾µq‘"ñ¸2›ÇÄQ“Òif“¸jŽ‘‡Ûµq‘”¹¸ ‘8àµqŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ‘& ç!˜²0Ž¡Òas›Šµn–Ǹ!“1µ;˜Òi.e.˜if‘Šžfor˜al‘ ‚Øl˜µN‘Þ3¸2“ÄNµ;˜¸jŽ‘Qºµq‘”¹¸ ‘8àµqŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ‘&ÓÆŸü‘†ê±1Ž‘úKŸ£&‰ fe ±Ÿ¿˜´NŽŽŽŽ‘ÍÌÒfor˜a.a.˜µn:‘ŠžÒAs˜usual˜if˜¸fŽ‘ŠžµqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘rî·1ŽŸ‘rî´n±=1ŽŽŽ¡Òc–ÿ}'onver“ges–“çto“µq›ïÀÒwe“wil‘ ‚Øl“write“µqŸÿ´nŽ‘8–¸!‘ǵq˜Òas“µn–Ǹ!“1–“çÒor“µq‘"ñ²=‘ÇlimŽ‘ª©Ÿÿ´n·!1Ž‘'¸™µqŸÿ´nŽ‘q~µ:ŽŸ
ñÇïhtml:ï html:Ÿ
9ÇDenition‘ÕT3.2.ŽŽ‘J—ïsrc:660tempanal.texÒA‘¦se–ÿ}'quenc“e‘¦H¸fŽ‘ ¦IµqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘Ž™·1ŽŸ‘Ž™´n±=1ŽŽ‘,Ø@¸›¸%ÄQ–¦HÒis“ÓCauchy“Òif“¸jŽ‘meµqŸÿ´nŽ‘ª^¸ ‘8àµqŸÿ´mŽ‘˜›¸jŽŽ‘1A!˜²0“ÒasŽ¡µm;‘ª¨n‘é¸!‘é1µ:–¦¯ÒMor›ÿ}'e“pr˜e˜cisely“we“r˜e˜quir˜e“for“e˜ach‘¦®µN‘ 9¸2‘éÄN“Òthat“¸jŽ‘m̵qŸÿ´mŽ‘ Ñ{¸ ‘8àµqŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ‘.NŸŸü‘¨ð±1Ž‘QŸ£&‰ fe ±Ÿ¿˜´NŽŽŽŽ‘äÒforŽ¡a.a.–“çp‘ÿ}'airs“²(Ž‘wvµm;‘ª¨n²)ŽŽ‘ ?õ:Ž©€ ïhtml:ï html:Ÿ € ÇExercise‘ÕT3.1.ŽŽ‘Bwbïsrc:668tempanal.tex²Shoš¸ãw–¡that“all“con˜v˜ergen˜t“sequences“¸fŽ‘¡µqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúø⑉f·1ŽŸ‘‰f´n±=1ŽŽ‘*`?¸‘EWÄQ“²are“Cauc˜h˜yŽ¡and–ö»that“all›öºCauc•¸ãh“y–ö»sequences“¸fŽ‘ö¼µqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘ß·1ŽŸ‘ß´n±=1ŽŽ‘)gH²are“bGounded“{˜i.e.“there“exists“µM‘Þ3¸2‘ÇÄNŽ¡²suc¸ãh‘UUthatŽ¡‘uÔt¸jŽ‘x›‘µqŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ’ ˆ–ǵM‘lp²for‘UUallŽŽ‘!ž;µn“¸2“ÄNµ:Ž¦ïhtml:ï html:Ÿ € ÇExercise‘ÕT3.2.ŽŽ‘Bwbïsrc:679tempanal.tex²SuppGose‘UU¸fŽ‘UVµqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘=¦·1ŽŸ‘=¦´n±=1ŽŽ‘*$|²and‘UU¸fŽ‘UVµrŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘IÌ·1ŽŸ‘IÌ´n±=1ŽŽ‘*0¢²are›UUCauc•¸ãh“y˜sequences˜in˜ÄQµ:ŽŽŽŒ‹ Ÿx R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð12Ž‘ ª3‘ A–TBrief“Review“of“Real“and“Complex“Num¾9bAÇersŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ
‘8â²1.ŽŽŽ‘ ïsrc:683tempanal.texSho•¸ãw‘UU¸fŽ‘UVµqŸÿ´nŽ‘ª^²+‘8àµrŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘-jù·1ŽŸ‘-jù´n±=1ŽŽ‘@Qϲand‘UU¸fŽ‘UVµqŸÿ´nŽ‘ª^¸‘8àµrŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘(jø·1ŽŸ‘(jø´n±=1ŽŽ‘;Qβare‘UUCauc“h“y‘ÿ*ª.Ž¤ ‘ ïsrc:686tempanal.texNoš¸ãw–UUassume“that“¸fŽ‘UVµqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘=¦·1ŽŸ‘=¦´n±=1ŽŽ‘*$|²and“¸fŽ‘UVµrŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘IÌ·1ŽŸ‘IÌ´n±=1ŽŽ‘*0¢²are“con˜v˜ergen˜t“sequences“in“ÄQµ:ŽŸÿÿïhtml:ï html:© ‘8â²2.ŽŽŽ‘ ïsrc:689tempanal.texSho•¸ãw‘UU¸fŽ‘UVµqŸÿ´nŽ‘ª^²+‘8àµrŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘-jù·1ŽŸ‘-jù´n±=1ŽŽ‘@QϸfŽ‘EQеqŸÿ´nŽ‘ª^¸‘8àµrŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘egr·1ŽŸ‘egr´n±=1ŽŽ‘xNH²are›UUcon“v“ergen“t˜in˜ÄQ˜²andŽŸì¤‘]Î7limŽŸ ‘ZN[´n·!1ŽŽ‘pÜK²(Ž‘t¿ÚµqŸÿ´nŽ‘ª^²+‘8àµrŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽŽŽŽ’ ›€#=‘FôlimŽŸ ‘Ç´n·!1ŽŽ‘UµqŸÿ´nŽ‘ª^²+‘¸¼limŽŸ ‘8à´n·!1ŽŽ‘ÆеrŸÿ´nŽ‘ÆÓ²andŽŽŽŽŽŽŸfd‘jlimŽŸ ‘f‡9´n·!1ŽŽ‘})²(Ž’ €ø¸µqŸÿ´nŽ–q~µrŸÿ´nŽ“²)ŽŽŽŽŽ’ ›€#=‘FôlimŽŸ ‘Ç´n·!1ŽŽ‘UµqŸÿ´nŽ‘ª^¸‘¸¼²limŽŸ ‘8à´n·!1ŽŽ‘ÆеrŸÿ´nŽ‘q~µ:ŽŽŽŽŸì£ïhtml:ï html:Ÿ€ ‘8â²3.ŽŽŽ‘ ïsrc:699tempanal.texIf–8w¸ãe›8further“assume“µqŸÿ´nŽ‘8–¸‘ǵrŸÿ´nŽ‘©™²for˜all“µn;“²sho¸ãw˜limŽ‘Ÿÿ´n·!1Ž‘()µqŸÿ´nŽ‘8–¸‘DzlimŽ‘ª©Ÿÿ´n·!1Ž‘'¸™µrŸÿ´nŽ‘q~µ:“²(ItŽ¡‘ suces–UUto“consider“the“case“where“µqŸÿ´nŽ‘8–²=‘Ç0“for“all“µn:²)ŽŸì¤‘ ïsrc:705tempanal.texThe–Ýrational“n•¸ãum“bGers–ÝÄQ“²suer“from“the“defect“that“they“are“not“complete,Ž¡i.e.–ºÑnot›ºÐall“Cauc•¸ãh“y˜sequences‘ºÑare˜con“v“ergen“t.–ºÑIn˜fact,“according˜to“CorollaryŽ¡ïhtml:3.14ï html:–^bGeloš¸ãw,‘_\most"“Cauc˜h˜y›_sequences“of˜rational“n•¸ãum“bGers˜do‘^not˜con“v“erge‘^toŽ¡a–UUrational“n•¸ãum“bGer.Žïhtml:ï html:Ÿì£ÇExercise‘ÕT3.3.ŽŽ‘Bwbïsrc:711tempanal.tex²Use–·Ithe“folloš¸ãwing“outline‘·Jto“construct“a“Cauc˜h˜y“sequenceŽ¡¸fŽ‘ µqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘èQ·1ŽŸ‘èQ´n±=1ŽŽ‘&@긑ÇÄQ–UU²whicš¸ãh“is“Çnot‘ÕT²con˜v˜ergen˜t“in“ÄQµ:ŽŸ
ôaïhtml:ï html:¦‘8â²1.ŽŽŽ‘ ïsrc:716tempanal.texRecall–«Úthat“there“is‘«Ùno“elemenš¸ãt“µq‘³#¸2‘WJÄQ“²suc˜h“that“µq[ÙŸü^ÿ±2Ž‘/–²=‘WJ2µ:ïhtml:Ÿü^ÿ±1ŽŽ‘|sï html:“²T‘ÿ*ªo“eac˜h“µn–WJ¸2“ÄNŽ¡‘ ²let–UUµmŸÿ´nŽ‘8–¸2‘ÇÄN“²bGe“c¸ãhosen“so“thatŽŸºu’ Lߟô ïhtml:ï html:ŽŽŸù<$’ ‚€µmŸü^ÿ±2ŽŸá´nŽŽŽ’ ‚€Ÿw‰ fe 95Ÿ (Ö‘ÞµnŸýr±2ŽŽŽŽŽ’ ”³’µ<–Dz2“µ<Ÿù<$‘úK²(Ž‘ÝÚµmŸÿ´nŽ‘ª^²+‘8à1)ŽŽ‘+3}Ÿúøâ±2ŽŽ‘úKŸw‰ fe +µ¥Ÿ (Ö‘œLµnŸýr±2ŽŽŽŽŽŽ’;qò(3.1)ŽŽŽŸåÒ‘ ïsrc:725tempanal.texand–UUlet“µqŸÿ´nŽ‘8–²:=Ÿûæh‘úK´mŸ ³nŽŽ‘úKŸÌʉ fe Ÿ¿˜‘‡E´nŽŽŽŽ‘-…µ:ŽŸrËïhtml:ï html:Ÿ5‘8â²2.ŽŽŽ‘ ïsrc:727tempanal.texV‘ÿ*ªerify–~#that“µqŸü^ÿ[Ù±2ŽŸá´nŽŽ‘|˜¸!›²2“as“µn˜¸!‘1‘~$²and“that“¸fŽ‘~$µqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘ft·1ŽŸ‘ft´n±=1ŽŽ‘*v²is“a“Cauc•¸ãh“y–~#sequence“inŽ¡‘ ÄQµ:ŽŸªªïhtml:ï html:Ÿ
UV‘8â²3.ŽŽŽ‘ ïsrc:731tempanal.texShoš¸ãw‘UU¸fŽ‘UVµqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘=¦·1ŽŸ‘=¦´n±=1ŽŽ‘*$|²doGes–UUnot“ha˜v˜e“a“limit“in“ÄQµ:ŽŸð‚ïhtml:ï html:Ÿ Ñ3.1Ž‘@ The–€ Real“Num b` ersŽŸðƒïsrc:738tempanal.tex²Let–铸C‘~é²denote“the“collection›é’of“Cauc•¸ãh“y‘é“sequences˜µa–¾)²=‘¾(¸fŽ‘¾)µaŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘xØ·1ŽŸ‘xØ´n±=1ŽŽ‘+ȸ“ÄQ˜²and‘é“sa¸ãyŽ¡µa;‘ª¨b›¸2‘‘C‘ª[²are–equiv‘ÿqÇalen¸ãt‘(write“µa˜¸˜µb²)“i‘limŽ‘ø•Ÿÿ´n·!1Ž‘)…¸jŽ‘+Í¢µaŸÿ´nŽ‘ª^¸ ‘8àµbŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ‘SK²=˜0µ:“²(The‘readerŽ¡should›UUc•¸ãhec“k˜that˜\˜¸˜²"˜is˜an˜equiv‘ÿqÇalence˜relation.)ŽŸ€ ïhtml:ï html:Ÿl¤ÇDenition‘ÕT3.3.ŽŽ‘J—ïsrc:745tempanal.texÒA‘Z®Ór–ÿi>e“al‘ãnumb“er–Z½Òis“an“e–ÿ}'quivalenc“e–Z½class,‘U²Ž“µaŽŽ‘k²:=‘ǸfŽ‘ǵb–Ǹ2“C‘\o²:“µb“¸“µa¸gŽŽŽ¡Òasso–ÿ}'ciate“d–to›some“element˜µa‘„\¸2‘„]C‘ •Wµ:“ÒThe˜c–ÿ}'ol‘ ‚Øle“ction‘of˜r“e“al‘numb“ers˜wil‘ ‚Øl‘b“eŽ¡denote‘ÿ}'d–5uby“ÄRµ:“ÒF‘ÿ;¼or‘5vµq‘"ñ¸2›ÇÄQµ;“Òlet“µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µq[Ù²)ŽŽ‘ˆ=‘ë°Ž˜µaŽŽ‘E½Òwher›ÿ}'e“µa“Òis‘5vthe“c˜onstant“se˜quenc˜e“µaŸÿ´nŽ‘8–²=‘ǵqŽ¡Òfor–“çal› ‚Øl“µn–Ǹ2“ÄNµ:–“çÒWe“wil˜l“simply“write“²0“Òfor“µi‘ª¨²(Ž‘Ž70)ŽŽ‘®Òand“²1“Òfor“µi‘ª¨²(Ž‘Ž71)ŽŽ‘oµ:ŽŸl£ïhtml:ï html:Ÿ € ÇExercise‘ÕT3.4.ŽŽ‘Bwbïsrc:754tempanal.tex²Giv•¸ãen‘y펑UUµaŽŽ‘ž…;Ÿý\q‘Oý²ŽŸ£‘ª¨µbŽŽ‘¼j¸2‘ÇÄR›UU²sho“w˜that˜the˜denitionsŽŸì¤‘F€÷¸ $˜²ŽµaŽŽ‘H²=‘ÇŸ÷Lщ fe ×lŸ³/(Ž‘㸠µa²)ŽŽŽ‘ž„µ;‘$•²Ž‘ÿýµaŽŽ‘‚
²+Ÿý\q‘Þ5ŽŸ£‘8àµbŽŽ– J¢²:=‘ÇŸ÷Lщ fe “ÖŸ³/(Ž‘ãµa–8à²+“µb²)ŽŽŽ‘#°CandŽŽ‘7F¥Ž‘7"
µaŽŽ‘>¤¸Ÿý\q‘Þ5²ŽŸ£‘8àµbŽŽ“²:=‘ÇŸ÷Û
‰ fe Ì·Ÿ$öµa–8ณµbŽŽŽŸÞ§‰ ff 2 Ÿ
LÍ‘”€Ÿü-=ó)¹Aa¨ cmr6Ô1ŽŽ‘
Ô{Ÿõ ïhtml:ï html:ŽŽ‘
Ô{ÐThis–Ö¼fact›Ö»also“sho¾9ws“that“the˜in¾9termediate“v‘ÿ|ralue“theorem,“(See˜Theorem“ï html:10.50ï html:ŽŸ ‘
Ô{bAÇeloš¾9w.)–Tfails“when“w˜orking“with“con˜tin˜uous“functions“dened“o˜v˜er“ó2ª µa msbm9ÝQó*5ùž" cmmi9Õ:ŽŽŽŒ‹
ð R ýº ‘? ïhtml:ï html:’ Ò6Ð3.1‘ The–TReal“Num¾9bAÇers‘Ù®13ŽŽŽ ( ýî ‘? ïsrc:759tempanal.tex²are–"w¸ãell›" dened.“Here˜¸ µa;“a–ÁW²+“µb‘"²and˜µa“¸‘ÁVµb˜²denote–"the˜sequences“¸fŽ‘ " µaŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘ £Ö·1ŽŸ‘ £Ö´n±=1ŽŽ‘1ßÿµ;Ž¤ ‘? ¸fŽ‘D µaŸÿ´nŽ‘ª^²+‘8àµbŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘i¯¶·1ŽŸ‘i¯¶´n±=1ŽŽ‘{禲and‘¦o¸fŽ‘¦pµaŸÿ´nŽ‘ª^¸‘8àµbŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘(V$·1ŽŸ‘(V$´n±=1ŽŽ‘:Ž²respGectiv¸ãely–ÿ*ª.›¦oF“urther˜v¸ãerify˜that‘¦pwith˜these˜op-Ž¡‘? erations,–»sÄR“²bGecomes‘»ta“eld“and“the“map“µi–Dz:“ÄQ“¸!“ÄRŽ‘$¿²is–»sinjectiv¸ãe“homomorphismŽ¡‘? of–QÚelds.“ÇHin®9t:‘ÑS²if‘vrŽ“µaŽŽ‘b"¸6²=‘Ç0“shoš¸ãw“that‘vrŽ“µaŽŽ‘ìä²ma˜y‘QÙbGe“represen˜ted“b˜y“a“sequence“µa–Ǹ2“CŽ¡‘? ²with‘Q¸jŽ‘ÊnµaŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ‘5JŸü‘¨â±1Ž‘CŸ£&‰ fe ±Ÿ¿˜´NŽŽŽŽ‘hx²for›Rall–Qµn“²and˜some“µN‘ +¸2‘éÄNµ:“²F‘ÿ*ªor“this“represen•¸ãtativ“e˜sho“w‘QtheŽŸ
}z‘? sequence– ºµaŸü^ÿ· ±1Ž‘4²:=‘DÀŸ÷æb«Ž‘ µaŸü^ÿ· ±1ŽŸá´nŽŽ‘
¼tŸ÷æb« ŽŽŸùøß‘õ·1ŽŸ
$‘õ´n±=1ŽŽ‘1ËS¸2‘D¿C‘ •Wµ:‘ »²The“m•¸ãultiplicativ“e› ºin“v“erse˜to‘ÅRŽ˜µaŽŽ‘Š¤²ma“y˜no“w˜bGeŽŸTœ‘? constructed‘UUas:Ÿü‘µ‡±1Ž‘ˆˆŸ£&‰ fe VpŸ¿˜,ÿŽ´aŽŽŽŽŽ‘ÙC²=‘ë°Ž‘ǵaŸü^ÿ· ±1ŽŽŽ‘“Ô²:=‘ÇŸõx1‰ fe +AÓŸ
‡ÏŸ÷æb«Ž‘ÕWµaŸû¸ä· ±1ŽŸrx´nŽŽ‘
¼tŸ÷æb« ŽŽŸù®î‘°R·1ŽŸ
Q‘°R´n±=1ŽŽŽŽ‘.ëµ:Ž‘? Ÿnóïhtml:ï html:Ÿ QÇDenition‘ÕT3.4.ŽŽ‘J—ïsrc:774tempanal.texÒL‘ÿ}'et‘¸²Ž‘“çµaŽŽ‘Ý;Ÿý\q‘Oý²ŽŸ£‘ª¨µbŽŽ‘¼j¸2‘ÇÄRµ:‘“çÒThenŽŸ š½ïhtml:ï html:Ÿ
9‘Ò€1.ŽŽŽ‘ ïsrc:777tempanal.tex$˜²ŽµaŽŽ‘H>›Ç²0–“çÒif“ther‘ÿ}'e“exists“an“µN‘Þ3¸2˜ÄN“Òsuch“that“µaŸÿ´nŽ‘8–µ>Ÿü‘†ê±1Ž‘úKŸ£&‰ fe ±Ÿ¿˜´NŽŽŽŽ‘×Òfor“a.a.“µn:Ž©rËïhtml:ï html:Ÿ5‘Ò€Ò2.ŽŽŽ‘ ïsrc:780tempanal.tex$˜²ŽµaŽŽ‘H¸›Ç²0–XòÒi“either‘}Š²Ž“µaŽŽ‘i:>˜²0“Òor‘}Š²Ž“µaŽŽ‘i:²=˜0µ:‘XñÒEquivalently“(as“the“r–ÿ}'e“ader–Xòshould“verify),Ž¡‘$˜²Ž‘ µaŽŽ‘H¸›Ç²0–“çÒi“for“al‘ ‚Øl“µN‘Þ3¸2˜ÄNµ;“aŸÿ´nŽ‘8–¸˜ Ÿü‘¿Ò±1Ž‘33Ÿ£&‰ fe ±Ÿ¿˜´NŽŽŽŽ‘
þÒfor“a.a.“µn:Ž¦ïhtml:ï html:Ÿ5‘Ò€Ò3.ŽŽŽ‘ ïsrc:784tempanal.texWrite‘¸²Ž‘“çµaŽŽ›¤/>Ÿý\q‘lm²ŽŸ£‘ǵbŽŽ–
¥©ÒorŸý\q‘9<²ŽŸ£‘“çµbŽŽ“<‘ë°²Ž‘ǵaŽŽ˜Òif‘¸²Ž‘“çµaŽŽ‘÷¸ Ÿý\q‘Þ5²ŽŸ£‘8àµbŽŽ‘ J¢>‘Dz0Ž©ñÇïhtml:ï html:¤
9‘Ò€Ò4.ŽŽŽ‘ ïsrc:786tempanal.texWrite‘¸²Ž‘“çµaŽŽ›¤/¸Ÿý\q‘lm²ŽŸ£‘ǵbŽŽ–
¥©ÒorŸý\q‘9<²ŽŸ£‘“çµbŽŽ“¸‘ë°²Ž‘ǵaŽŽ˜Òif‘¸²Ž‘“çµaŽŽ‘÷¸ Ÿý\q‘Þ5²ŽŸ£‘8àµbŽŽ‘ J¢¸‘Dz0µ:ŽŸ
`·ïhtml:ï html:¡ÇExercise‘ÕT3.5.ŽŽ‘Bwbïsrc:792tempanal.tex²Shoš¸ãw–eÙ\‘eÚ¸“²"“mak˜e‘eÚÄR“²in˜to“a“linearly›eÚordered“eld“and˜the“mapŽŸ µi–Dz:“ÄQ“¸!“ÄRŽ‘$ª ²preserv¸ães–UUorder.“Namely“if‘y펓µaŽŽ‘ž…;Ÿý\q‘Oý²ŽŸ£‘ª¨µbŽŽ‘¼j¸2‘ÇÄR“²thenŽŸ š¾ïhtml:ï html:¡‘8â1.ŽŽŽ‘ ïsrc:797tempanal.texexactly–UUone“of“the“follo¸ãwing“relations“hold:‘y펓µaŽŽ›e<Ÿý\q‘lm²ŽŸ£‘ǵbŽŽ‘
g²or‘y펓µaŽŽ˜>Ÿý\q‘lm²ŽŸ£‘ǵbŽŽ‘
g²or‘y펓µaŽŽ˜²=Ÿý\q‘lmŽŸ£‘ǵbŽŽ‘Â:Ž¦ïhtml:ï html:¡‘8â²2.ŽŽŽ‘ ïsrc:800tempanal.texIf‘y펑UUµaŽŽ‘e¸›Ç²0–UUandŸý\q‘úªŽŸ£“µbŽŽ‘
g¸˜²0“then‘y펓µaŽŽ‘
×e²+Ÿý\q‘Þ5ŽŸ£‘8àµbŽŽ‘ J¢¸˜²0“and‘y펓µaŽŽ‘
×e¸Ÿý\q‘Þ5²ŽŸ£‘8àµbŽŽ‘ J¢¸˜²0µ:ŽŸ\ïhtml:ï html:Ÿ
£ê‘8â²3.ŽŽŽ‘ ïsrc:803tempanal.texIf–UUµq[Ù;‘ª¨r‘5¸2›ÇµQ“²then“µq‘"ñ¸˜µr‘œr²i“µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µq[Ù²)ŽŽ‘ˆ¸˜µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µrG²)ŽŽ‘悵:Ž©nð‘ ïsrc:808tempanal.tex²The–]NÇabsolute‘Þ~v‘ÿ\ralue‘Þ²of›]Ma“real˜n•¸ãum“bGer‘掑]NµaŽŽ‘˲is–]Ndened˜analogously“to˜that“ofŽ¤ a–UUrational“n•¸ãum“bGer‘UUb“yŽŸqΑ|jj¸jŽ‘V²Ž‘1‡µaŽŽ’ „z·¸jŽŽ’ Šì²=‘ÇŸñæ^«ŽŸùæd‘Ï@²Ž‘ª¨µaŽŽŽ‘×g²ifŽŽŽ‘$ÑVŽ‘$¬¾µaŽŽ‘,½¸‘Dz0ŽŽ¡‘Ǹ $˜²ŽµaŽŽŽ‘×g²ifŽŽŽ‘$ÑVŽ‘$¬¾µaŽŽ‘,½<‘Dz0ŽŽŽ‘=Ë=µ:ŽŽŸÅïsrc:819tempanal.tex²Observš¸ãe–hthis“denition‘his“consisten˜t“with“our“previous“denition‘hof“the“abso-Ž¡lute–¶v‘ÿqÇalue“on›·ÄQµ;“²namely“µi‘ª¨²(Ž‘Ž7¸jŽ‘UTµq[Ù¸jŽŽ‘ï²)ŽŽ‘Úb=‘¹¸jŽ‘ÎÖµi‘ª¨²(Ž‘Ž7µq[Ù²)ŽŽ‘Dp¸jŽŽ‘öÿµ:“²Also“notice“that‘:OŽ˜µaŽŽ‘
fŸ²=›¹0“(i.e.“µa˜¸‘¸²0Ž¡where–çE0“denotes“the›çFconstan¸ãt“sequence“of“all“zeros)“i˜for“all“µN‘Þ3¸2‘ÇÄNµ;“¸jŽ‘®bµaŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ‘÷EŸü‘†ê±1Ž‘úKŸ£&‰ fe ±Ÿ¿˜´NŽŽŽŽŽ¡²for–UUa.a.“µn:“²This“is“equiv‘ÿqÇalenš¸ãt“to“sa˜ying“¸jŽ‘A
²Ž‘rµaŽŽ‘e¢¸jŽŽ‘óכǵi‘ª¨Ÿ÷æb« ŽŸü‘ÿѱ1Ž‘s2Ÿ£&‰ fe ±Ÿ¿˜´NŽŽŽŽ‘¼Ÿ÷æb«ŽŽ‘¦Â²for“all“µN‘Þ3¸2˜ÄN“²i‘y펓µaŽŽ‘e²=˜0µ:ŽŸ€ïhtml:ï html:ŸîìÇExercise‘ÕT3.6.ŽŽ‘Bwbïsrc:829tempanal.tex²Giv•¸ãen‘y펑UUµaŽŽ‘ž…;Ÿý\q‘Oý²ŽŸ£‘ª¨µbŽŽ‘¼j¸2‘ÇÄR‘UU²sho“wŽ¤nðŸ÷ü‘XJ$«ŽŸ ‘XJ$ŽŽ‘[IJŽ‘[ŸyµaŽŽŸý\q‘`þ²ŽŸ£‘`詵bŽŽŸ÷ü‘e3S«ŽŸ ‘e3SŽŽŽ‘kOÀ²=‘ǸjŽ‘²Í²Ž‘Ž5µaŽŽ‘
×e¸jŽŽŸ÷ü‘I*«ŽŸ ‘I*ŽŽŸý\q‘CÔ²ŽŸ£‘žµbŽŽŸ÷ü‘é)«ŽŸ ‘é)ŽŽŽ‘>{²andŽŽŸ÷ü‘4Zí«ŽŸ ‘4Z펎‘7ÔÚ²Ž‘7°BµaŽŽ‘?2R²+Ÿý\q‘Þ5ŽŸ£‘8àµbŽŽŸ÷ü‘ƒŠ«ŽŸ ‘ƒŠŽŽŽ‘S™g¸‘ÇjŽ‘²Í²Ž‘Ž5µaŽŽ‘
×e¸jŽŽ‘×b²+Ÿ÷ü‘8à«ŽŸ ‘8àŽŽŸý\q‘3Š²ŽŸ£‘Ž5µbŽŽŸ÷ü‘ Øß«ŽŸ ‘ ØߎŽŽ‘Øܵ:Ž¡ïsrc:835tempanal.tex²The–UUlatter“inequalit¸ãy“bGeing“referred“to“as“the“Çtriangle‘ÕTinequalit®9y².Ž¦‘ ïsrc:838tempanal.texBy–UUexercise“ïhtml:3.6ï html:,Ž¡‘djŽ‘gÚs²Ž‘gµÛµaŽŽ‘lÿ¸jŽŽ‘r@²=Ÿ÷ü‘Ç«ŽŸ ‘ÇŽŽ‘A²Ž‘mµaŽŽ‘
ž}¸ Ÿý\q‘Þ5²ŽŸ£‘8àµbŽŽ‘¼j²+Ÿý\q‘Þ5ŽŸ£‘8àµbŽŽŸ÷ü‘ƒŠ«ŽŸ ‘ƒŠŽŽŽ‘2‰¸Ÿ÷ü‘Ç«ŽŸ ‘ÇŽŽ‘A²Ž‘mµaŽŽ‘
ž}¸ Ÿý\q‘Þ5²ŽŸ£‘8àµbŽŽŸ÷ü‘ƒŠ«ŽŸ ‘ƒŠŽŽŽ‘!wZ²+Ÿ÷ü‘8à«ŽŸ ‘8àŽŽŸý\q‘3Š²ŽŸ£‘Ž5µbŽŽŸ÷ü‘ Øß«ŽŸ ‘ ØߎŽŽŽ¡ïsrc:843tempanal.tex²and‘UUhenceŽŸ ’ ‚Ú¸jŽ’ …²Ž’ „Ý÷µaŽŽ’ Š''¸jŽŽ’ '$ Ÿ÷ü‘8à«ŽŸ ‘8àŽŽŸý\q‘3Š²ŽŸ£‘Ž5µbŽŽŸ÷ü‘ Øß«ŽŸ ‘ ØߎŽŽ‘õL¸Ÿ÷ü‘Ç«ŽŸ ‘ÇŽŽ‘A²Ž‘mµaŽŽ‘
ž}¸ Ÿý\q‘Þ5²ŽŸ£‘8àµbŽŽŸ÷ü‘ƒŠ«ŽŸ ‘ƒŠŽŽŽŽŸ¨öïsrc:848tempanal.tex²and–UUbš¸ãy“rev˜ersing“the“roles“of‘y펓µaŽŽ‘óÚ²andŸý\q‘úªŽŸ£“µbŽŽ‘
õT²w˜e“also“ha˜v˜eŽ¡‘Iûñ¸ ‘ª¨Ÿ÷æb« Ž‘?ÿ¸jŽ‘ +´²Ž‘ µaŽŽ‘PL¸jŽŽ‘PI Ÿ÷ü‘8à«ŽŸ ‘8àŽŽŸý\q‘3Š²ŽŸ£‘Ž5µbŽŽŸ÷ü‘ Øß«ŽŸ ‘ ØߎŽŽ‘
.4Ÿ÷æbŽŽ‘/¢
²=Ÿ÷ü‘Ç«ŽŸ ‘ÇŽŽŸý\q‘Á²ŽŸ£‘mµbŽŽŸ÷ü‘
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gŽŽŽ‘õL¸ ‘8àjŽ‘$•²Ž‘ÿýµaŽŽ‘
I-¸jŽŽ‘×bŸ÷ü‘Ç«ŽŸ ‘ÇŽŽŸý\q‘Á²ŽŸ£‘mµbŽŽ‘Ÿ÷¸ ‘]x²Ž‘8àµaŽŽŸ÷ü‘‚«ŽŸ ‘‚ŽŽŽ‘"’²=Ÿ÷ü‘Ç«ŽŸ ‘ÇŽŽ‘A²Ž‘mµaŽŽ‘
ž}¸ Ÿý\q‘Þ5²ŽŸ£‘8àµbŽŽŸ÷ü‘ƒŠ«ŽŸ ‘ƒŠŽŽŽ‘ é"µ:ŽŽŽŒ‹ ø R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð14Ž‘ ª3‘ A–TBrief“Review“of“Real“and“Complex“Num¾9bAÇersŽŽ ( ýî ‘? ïsrc:854tempanal.tex²ThereforeŸ÷ü‘ñ«ŽŸ ‘ñŽŽ‘FZ¸jŽ‘ 2²Ž‘
wµaŽŽ‘V§¸jŽŽ‘V¤ Ÿ÷ü‘8à«ŽŸ ‘8àŽŽŸý\q‘3Š²ŽŸ£‘Ž5µbŽŽŸ÷ü‘ Øß«ŽŸ ‘ ØߎŽŽŸ÷ü‘
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:OŸw‰ fe þŸ (ÖµNŽŽŽŽ‘€Ÿñæ^«ŽŽ‘ éñ²for‘UUallŽŽ‘>¼µm“¸“µMŽŸ ïsrc:897tempanal.tex²and–UUsince“µN‘lp²is“arbitrary“that“µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µqŸÿ´mŽ‘˜›²)ŽŽ‘HJ¸!‘ë°²Ž‘ǵaŽŽ‘e²as“µm–Ǹ!“1µ:Ž©€ ïhtml:ï html:Ÿ € ÇDenition‘ÕT3.7.ŽŽ‘J—ïsrc:902tempanal.texÒA‘ƒ¸se–ÿ}'quenc“e‘ƒ÷¸fŽ‘ ¨²Ž‘ ƒøµaŸÿ´nŽŽŽ‘>¦¸gŽŽŸúøâ‘>§·1ŽŸ‘>§´n±=1ŽŽ‘-J!¸›yúÄR–ƒöÒis“ÓCauchy“Òif‘ƒ÷¸jŽ‘o¬²Ž‘KµaŸÿ´nŽŽŽ‘>¢¸ ‘]x²Ž‘8àµaŸÿ´mŽŽŽ‘«¸jŽŽ‘2a!˜²0“ÒasŽ¤ µm;‘ª¨n‘ëÿ¸!‘ì 1µ:–¨FÒMor›ÿ}'e“pr˜e˜cisely“we“r˜e˜quir˜e‘¨Gfor“e˜ach“µN‘¸2‘ì ÄN“Òthat“¸jŽ‘“û²Ž‘ocµaŸÿ´mŽŽŽ‘Š¸ ‘]x²Ž‘8àµaŸÿ´nŽŽŽ‘óŽ¸jŽŽ‘/÷בëÿµi‘ª¨Ÿ÷æb« ŽŸü‘ÿѱ1Ž‘s2Ÿ£&‰ fe ±Ÿ¿˜´NŽŽŽŽ‘¼Ÿ÷æb«ŽŽŽ¡Òfor–“ça.a.“p‘ÿ}'airs“²(Ž‘wvµm;‘ª¨n²)ŽŽ‘ ?õ:Ž¦ïhtml:ï html:Ÿ € ÇExercise‘ÕT3.7.ŽŽ‘Bwbïsrc:911tempanal.tex²The–Øanalogues›Øof“the“results“in˜Exercises“ïhtml:3.1ï html:“and“ïhtml:3.2ï html:˜hold“withŽ¡ÄQ–q:²replaced“bš¸ãy“ÄRµ:‘q9²(W‘ÿ*ªe“no˜w“sa˜y“a“subset“µ– >¸“ÄR–q:²is‘q9bGounded“if“there“existsŽ¡µM‘Þ3¸2›ÇÄN–UU²suc¸ãh“that“¸jŽ‘rµ¸jŽŽ‘þ˜µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µM‘²)ŽŽ‘‘Åfor“all“µ˜¸2˜µ:²)Ž© ‘ ïsrc:918tempanal.texF‘ÿ*ªor–ÿqthe›ÿppurpGoses“of˜real“analysis˜the“most˜impšGortan¸ãt“prop˜ert¸ãy›ÿpof“ÄR˜²is“thatŽ¡it–UUis“\complete."ŽŸñÇïhtml:ï html:Ÿ9ÇTheorem‘ÕT3.8.ŽŽ‘E¸Îïsrc:922tempanal.texÒThe›C
or–ÿ}'der“e“d–Celd˜ÄR“Òis˜Óc‘ÿi>ompleteÒ,“i.e.˜al‘ ‚Øl“Cauchy˜se–ÿ}'quenc“es‘CinŽ¡ÄR–“çÒar›ÿ}'e“c˜onver˜gent.Ž¦‘ ïsrc:927tempanal.texÇProQÇof.–^{²SuppGose›^|that“¸fŽ‘ƒ²Ž‘^|µaŽŽ‘RT²(Ž‘5ãµm²)ŽŽ‘á)¸gŽŽŸúøâ‘$á*·1ŽŸ‘$á*´m±=1ŽŽ‘9øC²is“a˜Cauc•¸ãh“y–^{sequence“in“ÄRµ:˜²By“RemarkŽ¡ïhtml:3.6ï html:,–UUwš¸ãe“ma˜y“c˜hoGose“µqŸÿ´mŽ‘
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¼tŸ÷æb«ŽŽ‘#Y~²for‘UUallŽŽ‘@‹Iµm“¸2“ÄNµ:ŽŸ ïsrc:934tempanal.tex²Giv•¸ãen›¬ïµN‘Û¸2‘ÁÄNµ;‘¬î²c“hoGose˜µM‘ܸ2‘ÀÄN˜²suc“h˜that˜¸jŽ‘˜¤²Ž‘tµaŽŽ‘gä²(Ž‘Ksµm²)ŽŽ‘!/™¸ ‘]x²Ž‘8àµaŽŽ‘ ,¸²(Ž‘
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¼tŸ÷æb«ŽŽ‘ËD²+“µi‘ª¨Ÿ÷æb« Ž‘?ÿµN‘ŸûÞÿ· ±1Ž‘ÓŸ÷æb«ŽŽŽŽŽŽ¤Ì3‘? ïsrc:945tempanal.tex²and‘UUthereforeŽ¡‘}!3¸jŽ‘èPµqŸÿ´mŽ‘ Ñ{¸ ‘8àµqŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ’ §§‘ǵmŸûÞÿ· ±1Ž–õT²+›8àµnŸûÞÿ· ±1Ž“²+˜µN‘ŸûÞÿ· ±1Ž‘(ä²for‘UUallŽŽ‘,Z¯µm;‘ª¨n–Ǹ“µM‘ ˆâ:Ž¡‘? ïsrc:950tempanal.tex²It›¡çno•¸ãw‘¡æfollo“ws˜that˜µq‘"ñ²=‘ǸfŽ‘ǵqŸÿ´mŽ‘˜›¸gŽŽŸúøâ‘Ö†·1ŽŸ‘Ö†´m±=1ŽŽ‘-V<¸2‘ÇC‘7=²and˜therefore‘¡æµq‘ýÀ²represen“ts˜a‘¡æpGoin“t‘`“Ž˜µqŽŽ‘
;©¸2‘ÇÄRµ:ŽŸ ‘? ²Using–UURemark“ïhtml:3.6ï html:“and“the“triangle“inequalit¸ãy‘ÿ*ª,Ž¡‘w>=¸jŽ‘z)ò²Ž‘zZµaŽŽ’ €ù2²(Ž’ „ÜÁµm²)ŽŽ’ “Àç¸ ‘÷Œ²Ž‘8àµqŽŽ‘Š¸jŽŽŽŽŽ’ ¨!Ä‘ÇjŽ‘²Í²Ž‘Ž5µaŽŽ‘‚
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㋵:ŽŸÌ3‘ ïsrc:980tempanal.texÇProQÇof.–&¼²SuppGose›&½µ“²is˜bšGounded“from“ab˜o•¸ãv“e–&½and›&¼for“eac¸ãh˜µn–Ǹ2“ÄNµ;‘&½²let˜µmŸÿ´nŽ‘8–¸2“ÄZŽ¡²bGe–fâthe“smallest‘fãinš¸ãteger“suc˜h“that“µi‘ª¨Ÿ÷æb« ŽŸûæh‘s2´mŸ ³nŽŽ‘s2ŸÌʉ fe Ÿ¿˜‘Ž±2Ÿþ ³nŽŽŽŽŽ‘¦lŸ÷æb«ŽŽ‘¢¥²is‘fãan“uppšGer“b˜ound“for‘fãµ:“²The“sequenceŽ¡µqŸÿ´nŽ‘8–²:=Ÿûæh‘úK´mŸ ³nŽŽ‘úKŸÌʉ fe Ÿ¿˜‘Ž±2Ÿþ ³nŽŽŽŽŽ‘‚Ú²is›UUCauc•¸ãh“y˜bGecause˜µqŸÿ´mŽ‘
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40²is‘°Äan–°ÃuppšGer“b˜ound“for“µ:‘°Ä²If“there“w¸ãere“another“upp˜er‘°Äb˜ound“µM‘Þ3¸2‘ÇÄR“²forŽ¡µ–Q}²sucš¸ãh“that“µM‘Þ3<‘…IJŽ‘ǵqŽŽ‘™Â;“²it“w˜ould“follo˜w‘Q|that“µM‘Þ3¸–ǵi‘ª¨²(Ž‘Ž7µqŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘!-µ<‘…IJŽ“µqŽŽ‘
ë?²for–Q}some“µn:“²But“thisŽ¡is–¬a“con¸ãtradiction›«bGecause“¸fŽ‘ µqŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘ôý·1ŽŸ‘ôý´n±=1ŽŽ‘+“*²is“a“decreasing“sequence,˜µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µqŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘R½¸‘ø§µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µqŸÿ´mŽ‘˜›²)ŽŽŽ¡for–ùÍall“µm–Ǹ“µn–ùͲand“therefore“µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µqŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘!-¸‘…IJŽ‘ǵqŽŽ‘
“²for“all‘ùεn:“²Therefore‘¸yŽ“µqŽŽ‘
ÆD²is“the“unique“leastŽ¡upp•Ger›UUb“ound˜for˜µ:˜²The˜existence˜of˜lo•¸ãw“er˜bGounds˜is˜pro“v“ed˜analogously‘ÿ*ª.‘U0„ ŽŽŸñÇïhtml:ï html:ŸÚlÇPropQÇosition‘ÕT3.11.ŽŽ‘XÐ=ïsrc:1006tempanal.texÒIf‘½¸fŽ‘ ½µaŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘w±·1ŽŸ‘w±´n±=1ŽŽ‘-ꃸ‘áPÄR–½Òis›½an“incr–ÿ}'e“asing˜(de“cr“e“asing)‘½se“quenc“eŽ¡which–“çis“b–ÿ}'ounde“d›“çfr“om˜ab“ove˜(b“elow),˜then˜¸fŽ‘“èµaŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽŸúøâ‘N—·1ŽŸ‘N—´n±=1ŽŽ‘+sÿÒis˜c“onver“gent˜andŽ¦‘.C+²limŽŸ ‘*ÃO´n·!1ŽŽ‘AQ?µaŸÿ´nŽ–8–²=‘ÇsupŽŽ‘û¸fŽ‘üµaŸÿ´nŽ“²:–ǵn“¸2“ÄN¸gŽŽ‘O@áÒ(ŽŽ‘X‚%²limŽŸ ‘UI´n·!1ŽŽ‘k9µaŸÿ´nŽ“²=‘ÇinfŽŽ‘œn¸fŽ‘œoµaŸÿ´nŽ“²:–ǵn“¸2“ÄN¸gŽŽ‘GŲ)µ:ŽŸL3ïsrc:1014tempanal.texÒIf›#-µ–ʤ¸“ÄR˜Òis‘#,a˜set˜b–ÿ}'ounde“d˜fr“om‘#,ab“ove˜then˜ther“e˜exists‘#,¸fŽ‘ #-µŸÿ´nŽ‘q~¸gŽŽ‘4§‘ʤµ˜Òsuch˜thatŽ¡µŸÿ´nŽ›8–¸"–ǵM‘Þ3²:=“supŽ‘ûµ;–“çÒas“µn–Ǹ!“1µ;–“çÒi.e.“¸fŽ‘“赟ÿ´nŽ‘q~¸gŽŽ‘n¥Òis“incr–ÿ}'e“asing–“çand“²limŽ‘wxŸÿ´n·!1Ž‘(…hµŸÿ´nŽ˜²=‘ǵM‘ ˆâ:ŽŽŽŒ‹ õ
R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð16Ž‘ ª3‘ A–TBrief“Review“of“Real“and“Complex“Num¾9bAÇersŽŽ ( ýî ‘N ïsrc:1021tempanal.texÇProQÇof.–H²Let“µM›Þ3²:=‘ÇsupŽ‘û¸fŽ‘üµaŸÿ´nŽ‘8–²:–ǵn“¸2“ÄN¸gŽŽ‘K¬úµ;‘H
²then“for“eac¸ãh“µN˜¸2‘ÇÄN‘H
²there“m¸ãust“existŽ¤ ‘? µm›m&¸2‘m'ÄN‘¸÷²suc¸ãh–¸øthat“µM‘’g¸ ‘{Lµi‘ª¨Ÿ÷æb« Ž‘?ÿµN‘Ÿü^ÿ· ±1Ž‘ÓŸ÷æb«ŽŽ‘"ïµ<˜aŸÿ´mŽ‘Á¸‘m'µM‘ ˆâ:›¸÷²Since“µaŸÿ´nŽ‘ *v²is“increasing,˜it“follo¸ãwsŽ¡‘? thatŽ¡’ ’žvµM‘Oû¸ ‘8àµi‘ª¨Ÿ÷æb« Ž‘?ÿµN‘ŸûÞÿ· ±1Ž‘ÓŸ÷æb«ŽŽ‘!xàµ<–ÇaŸÿ´nŽ‘8–¸“µM‘lp²for‘UUallŽŽ‘!ž;µn“¸“µm:ŽŸ ‘? ïsrc:1027tempanal.tex²F‘ÿ*ªrom–’Pthis›’Ow¸ãe“conclude“that˜limŽ‘ ˆµaŸÿ´nŽ‘ βexists˜and“limŽ‘ ‰µaŸÿ´nŽ‘ž7²=‘,ºµM‘ ˆâ:˜²If“µM‘CÔ²=‘,¹supŽ‘圵;“²forŽ¡‘? eac¸ãh›UUµn–Ǹ2“ÄN˜²w•¸ãe˜ma“y˜c“hoGose˜µŸÿ´nŽ‘8–¸2‘ǵ˜²suc“h˜thatŽ¤ ’ ²‘Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ’ ²‘µM‘Oû¸ ‘8àµi‘ª¨Ÿ÷æb« Ž‘?ÿµnŸûÞÿ· ±1Ž‘
¼tŸ÷æb«ŽŽ‘Y|µ<–ÇŸÿ´nŽ‘8–¸“µM‘ ˆâ:Ž’zqò(3.2)ŽŽŽ¡‘? ïsrc:1033tempanal.texBy–NIreplacing›NHµŸÿ´nŽ‘¿Ç²b¸ãy“maxŽ‘•g¸fŽ‘•hµŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨Ÿÿ´nŽ‘q~¸gŽŽ‘Mfáïhtml:Ÿü^ÿ±2ŽŽ‘|sï html:“²if˜necessary“wš¸ãe“ma˜y“assume‘NHthat“µŸÿ´nŽ‘¿Ç²isŽ© ‘? increasing–UUin“µn:“²It“noš¸ãw“follo˜ws“easily“from“Eq.“(ïhtml:3.2ï html:)“that“limŽ‘8æŸÿ´n·!1Ž‘(FÖµŸÿ´nŽ‘8–²=‘ǵM‘ ˆâ:‘u4„ ŽŽ‘? Ÿ€ ï html:ï html:Ÿ € Ç3.1.1Ž‘£†The–ÕTDecimal“Represenš®9tation“of“a“Real“Num˜bQÇerŽ¡ïsrc:1044tempanal.tex²Let–viµ›³¸2‘þ:ÄR“²or“µ˜¸2›þ9ÄQµ;“m;‘ª¨n‘þ:¸2˜ÄZ“²and“µS‘‘Dz:=˜Ÿøü«PŽŸúøÞ‘
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µ:“²If“µ‘³²=‘þ:1“then“Ÿøü«PŽŸúøÞ‘¤´mŽŸ%‘¤k+B±=´nŽŽ‘¯êµ zŸü^ÿ´kŽ‘óC²=Ž¦µm–8ภ“µn“²+“1–UUwhile“for“µ‘Ð’¸6²=‘Ç1µ;Ž¡‘y+n• zS‘Ìm¸ ›8àµS‘Z¥²=‘ǵ“ŸûÞÿ´m±+1Ž‘úø¸ ˜µ“ŸûÞÿ´nŽŽ¡ïsrc:1050tempanal.tex²and–UUsolving“for“µS‘èâ²givš¸ães“the“impGortan˜t“geometric“summation“form˜ula,ŽŸuX‘dãzŸô ïhtml:ï html:ŽŽŸóý‘jÂ$´mŽŸ€‘gŸöü«XŽŽŸ‘fŽ"´k+B±=´nŽŽ‘w¹hµ zŸûÞÿ´kŽ‘¼"²=Ÿù<$‘úKµ zŸü^ÿ´m±+1Ž‘úø¸ ‘8ൠzŸü^ÿ´nŽŽ‘úKŸw‰ fe 0A4Ÿ (Ö‘Lœµ‘BZ¸ ‘8à²1ŽŽŽŽ‘8ÄifŽŽ‘Aî³µ‘Ð’¸6²=‘Ç1µ:Ž’;qò(3.3)ŽŽŽŸ *ø‘ ïsrc:1057tempanal.texT‘ÿ*ªaking–UUµ‘Ð’²=‘Ç10Ÿü^ÿ· ±1Ž‘ɲin“Eq.“(ïhtml:3.3ï html:)“impliesŽŸ‘Ÿóý‘8ïµ´mŽŸ€‘5CŸöü«XŽŽŸ‘4»³´k+B±=´nŽŽ‘Eæù²10ŸûÞÿ· ´kŽ‘
ò©²=Ÿù<$‘úK10Ÿü^ÿ· ±(Ž‘ ´m±+1)ŽŽŽ‘ q¸ ‘8à²10Ÿü^ÿ· ´nŽŽ‘úKŸw‰ fe J#Ÿ (֑ײ10Ÿýr· ±1Ž‘õT¸ ‘8à²1ŽŽŽŽ‘R˜=Ÿù<$‘QE1Ž‘úKŸw‰ fe ôŸ (Ö10Ÿýr´n· ±1ŽŽŽŽŽŸù<$‘ ¥²1–8ภ“²10Ÿü^ÿ· ±(´m· ´n±)ŽŽ‘ ¥Ÿw‰ fe :‚þŸ (Ö‘Á²9ŽŽŽŽŽŸøæïsrc:1062tempanal.texand–UUin“particular,“for“all“µM‘Þ3¸‘ǵn;ŽŸ:S‘W’²limŽŸ ‘Ro(´m·!1ŽŽŸóý‘oX7´mŽŸ€‘k« Ÿöü«XŽŽŸ‘k$5´k+B±=´nŽŽ‘|O{²10ŸûÞÿ· ´kŽ‘
ò©²=Ÿù<$‘m´1Ž‘úKŸw‰ fe %æÒŸ (Ö9–8ณ²10Ÿýr´n· ±1ŽŽŽŽŽ‘-Ûh¸Ÿóý‘W9´MŽŸ€‘NƒŸöü«XŽŽŸ‘Ç´k+B±=´nŽŽ‘ò^²10ŸûÞÿ· ´kŽ‘+‘µ:ŽŸ!ຑ ïsrc:1069tempanal.tex²Let–Ä>ÄD›Ä?²denote“those˜sequences“µ‘Ð’¸2‘ÇfŽ‘Dz0µ;–ª¨²1µ;“²2µ;“:“:“:Ž‘ÿ÷;“²9¸gŽŽ‘?ãŸúøâÅZŽ‘GÒh²with“the˜follo¸ãwing“prop-Ž¦erties:ŽŸ ïhtml:ï html:¦‘8â1.ŽŽŽ‘ ïsrc:1073tempanal.texthere–UUexists“µN‘Þ3¸2›ÇÄN“²suc¸ãh“that“µŸÿ· ´nŽ‘x—²=˜0“for“all“µn˜¸˜µN‘lp²andŽŸUUïhtml:ï html:Ÿ ª«‘8â2.ŽŽŽ‘ ïsrc:1076tempanal.texµŸÿ´nŽ‘8–¸6²=›Ç0–UUfor“some“µn˜¸2˜ÄZµ:ŽŸX,‰ ff 2 Ÿ
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Ô{Ÿõ ïhtml:ï html:ŽŽ‘
Ô{ÐThe–0Šnotation,“maxŽ‘òIÕ;›0‹Ðdenotes“supŽ‘¨VÕ“Ðalong“with“the˜assertion“that“supŽ‘¨VÕ–iËó,©±Ê cmsy9×2“Õ:ŽŸ ‘
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¢Õ–‘ÆÐ=“infŽ‘YÀÕ–TÐalong“with“the“assertion“that“infŽ‘ÝNÕ–‘Æ×2“Õ:ŽŽŽŒ‹ [ R ýº ‘? ïhtml:ï html:’ Ò6Ð3.1‘ The–TReal“Num¾9bAÇers‘Ù®17ŽŽŽ ( ýî ‘N ïsrc:1079tempanal.tex²AssoGciated–UUto“eac¸ãh“µ‘Ð’¸2›ÇÄD“²is“the“sequence“µa˜²=˜µa‘ª¨²(Ž‘Ž7µ z²)ŽŽ‘68dened“b¸ãyŽŸ‘’ º¹+µaŸÿ´nŽ‘8–²:=Ÿóý‘²\´nŽŸ€‘ò7Ÿöü«XŽŽŸ‘Ç´k+B±=· 1ŽŽ‘9ƵŸÿ´kŽ‘ë²10ŸûÞÿ· ´kŽ‘+‘µ:Ž¤Î<‘? ïsrc:1084tempanal.tex²Since–UUfor“µm–Ç>“n;ŽŸqÑ‘_™¸jŽ‘aȶµaŸÿ´mŽ‘ Ñ{¸ ‘8àµaŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ’ ‹,B²=Ÿîö‘Ç«Ž¤ ‘ÇŽ¡‘ÇŽ¡‘ÇŽ¡‘ÇŽŽŸóý‘`p´mŽŸ€‘³ÙŸöü«XŽŽŸ‘m´k+B±=´n±+1ŽŽ‘!g¶µŸÿ´kŽ‘ë²10ŸûÞÿ· ´kŽŸîö‘+‘«Ž¤ ‘+‘Ž¡‘+‘Ž¡‘+‘Ž¡‘+‘ŽŽŽ‘H 鸖Dz9Ÿóý‘
î«´mŽŸ€‘BŸöü«XŽŽŸ‘ª¨´k+B±=´n±+1ŽŽ‘õñ²10ŸûÞÿ· ´kŽ‘
ò©¸“²9Ÿù<$‘ˆb1Ž‘33Ÿw‰ fe ª^Ÿ (Ö9–8ณ²10Ÿýr´nŽŽŽŽŽ‘ ×ܲ=Ÿù<$‘ 31Ž‘úKŸw‰ fe q€Ÿ (Ö10Ÿýr´nŽŽŽŽŽ‘žþµ;Ž¡‘? ïsrc:1090tempanal.tex²it–UUfollo¸ãws“thatŽŸ5£’ Š^I¸jŽ’ %fµaŸÿ´mŽ‘ Ñ{¸ ‘8àµaŸÿ´nŽ‘q~¸jŽŽ’ ¶ˆòŸù<$‘¯[²1Ž‘úKŸw‰ fe ,j!Ÿ V½10Ÿýr±minŽ‘
@Ÿýr(´m;n±)ŽŽŽŽŽ‘4^·¸!–Dz0‘UUasŽŽ‘œrµm;‘ª¨n“¸!“1µ:ŽŸ‰ð‘? ïsrc:1095tempanal.tex²Therefore›+Rµa–Dz=“µa‘ª¨²(Ž‘Ž7µ z²)ŽŽ‘§û¸2“C‘À©²and‘+Qw•¸ãe˜ma“y˜dene˜a‘+Qmap˜µD‘5²:‘ǸfŽ‘Dz1¸gŽŽ‘s‘äÚÄD–Ǹ!“ÄRŽ‘#%²denedŽ© ‘? bš¸ãy–UUµD‘ñŲ(Ž‘ÕTµ";‘ª¨ z²)ŽŽ‘
£=‘ǵ"Ÿ÷Lщ fe *Ÿ³/a‘ª¨²(Ž‘Ž7µ z²)ŽŽŽŽ‘*µ:“²As“is“customary“w˜e“will“denote“µD‘ñŲ(Ž‘ÕTµ";‘ª¨ z²)ŽŽ‘
£=‘ǵ"Ÿ÷Lщ fe *Ÿ³/a‘ª¨²(Ž‘Ž7µ z²)ŽŽŽŽ‘hasŽ¤ ’ ¬Â±Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ’ ¬Â±µ"–8ณµŸÿ´mŽ‘ CCµ:–ª¨:“:Ž‘˜’Ÿÿ±0Ž–|sµ:Ÿÿ±1Ž“µŸÿ±2Ž‘'µ:–ª¨:“:Ž‘|jŸÿ´nŽ‘&µ:–ª¨:“:ŽŽ’zqò(3.4)ŽŽŽ¡‘? ïsrc:1104tempanal.texwhere–wêµm“²is“the“largest“inš¸ãteger“in“ÄZ“²suc˜h“that“µŸÿ´kŽ‘ìK²=› º0“for“all“µk‘QR<‘ »m:“²If“µm˜>‘ »²0Ž¦‘? the–UUexpression“in“Eq.“(ïhtml:3.4ï html:)“should“bGe“in¸ãterpreted“asŽ¡’ ´¹Zµ"–8ณ²0µ:²0–ª¨µ:“:“:Ž‘ÿ÷²0µŸÿ´mŽ‘˜›µŸÿ´m±+1Ž‘cFµ:–ª¨:“:Ž‘ ¸•:Ž¡‘N ïsrc:1112tempanal.tex²An–>eelemen¸ãt›>fµ‘Ð’¸2‘ÇÄD“²has˜a“tail˜of“all˜9's“starting˜at“µN‘Þ3¸2‘ÇÄN˜²if“µŸÿ´nŽ‘8–²=‘Ç9˜and“forŽ¦‘? all–Ûoµn›¦—¸‘¦˜µN‘òŠ²and“µŸÿ´N‘ À,· ±1Ž‘x¼¸6²=˜9µ:“²If“µ‘äé²has“a“tail“of“9's“starting‘Ûnat“µN‘½³¸2˜ÄNµ;“²then“forŽ¦‘? µn–Ç>“N‘ ˆâ;ŽŸ:S‘~GuaŸÿ´nŽ‘&²(Ž‘
ÿµµ z²)ŽŽŽŽŽ’ ›ª=Ÿóý‘‚ ´N‘ À,· ±1ŽŸ€‘ò7Ÿöü«XŽŽŸ‘Ç´k+B±=· 1ŽŽ‘9ƵŸÿ´kŽ‘ë²10ŸûÞÿ· ´kŽ‘
dq²+‘8à9Ÿóý‘R´nŽŸ€‘D,Ÿöü«XŽŽŸ‘ª¨´k+B±=´NŽŽ‘ú!²10ŸûÞÿ· ´kŽŽŽŽŽ¤$%’ ›ª²=Ÿóý‘‚ ´N‘ À,· ±1ŽŸ€‘ò7Ÿöü«XŽŽŸ‘Ç´k+B±=· 1ŽŽ‘9ƵŸÿ´kŽ‘ë²10ŸûÞÿ· ´kŽ‘
dq²+Ÿù<$‘Õ&9Ž‘lŸw‰ fe Ò'Ÿ (Ö10Ÿýr´N‘ À,· ±1ŽŽŽŽŽ‘"ªM¸Ÿù<$‘l²1–8ภ“²10Ÿü^ÿ· ±(Ž‘ ´n· ´N‘ À,±)ŽŽŽŽ‘lŸw‰ fe :€Ÿ (Ö‘À
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dq²+‘8à10ŸûÞÿ· ±(Ž‘ ´N‘ À,· ±1)ŽŽŽ‘!§}²asŽŽ‘-îšµn–Ǹ!“1µ:ŽŽŽŽŸ"¬ ‘? ïsrc:1124tempanal.tex²If–;µ zŸü^ÿ·0Ž‘IJis›;the“digits“in“the˜decimal“expansion“of“Ÿøü«PŽŸúøÞ‘ÉL´N‘ À,· ±1ŽŸ%‘ÉL´k+B±=· 1ŽŽ‘)»úµŸÿ´kŽ‘ë²10Ÿü^ÿ· ´kŽ‘
ý˜²+‘Ò10Ÿü^ÿ· ±(Ž‘ ´N‘ À,· ±1)ŽŽŽ‘R(µ;Ž¦‘? ²thenŽ¦‘r¼êµ zŸûÞÿ·0Ž‘žË¸2–ÇÄDŸûÞÿ·0Ž‘•Q²:=“¸fŽ‘ǵ‘Ð’¸2“ÄD“²:“µ‘^ϲdoGes–UUnot“ha•¸ãv“e–UUa“tail“of“allŽŽ‘v%ù9'sŽŽ‘¸ä¸gŽŽ’ ¸ìmµ:ŽŸ ‘? ïsrc:1130tempanal.tex²and–UUwš¸ãe“ha˜v˜e“just“sho˜wn“that“µD‘ñŲ(Ž‘ÕTµ";‘ª¨ z²)ŽŽ‘
£=‘ǵD‘ñŲ(Ž‘ÕTµ";‘ª¨ zŸü^ÿ·0Ž‘׳²)ŽŽ‘¼lµ:“²In“particular“this“impliesŽŸ ’ |Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ’ |µD‘ñŲ(Ž‘ÕT¸fŽ‘
ÕU²1¸gŽŽ‘ÕU‘8àÄDŸûÞÿ·0Ž‘Î9²)ŽŽ‘9‡=‘ǵD‘ñŲ(Ž‘ÕT¸fŽ‘
ÕU²1¸gŽŽ‘ÕU‘8àÄD²)ŽŽ‘5œnµ:Ž’zqò(3.5)ŽŽŽ‘? Ÿ€ ïhtml:ï html:ŽŽŒ‹ ' R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð18Ž‘ ª3‘ A–TBrief“Review“of“Real“and“Complex“Num¾9bAÇersŽŽ ( ýî ‘? ÇTheorem‘ÕT3.12ŽŽ’ ‡Gïsrc:1139tempanal.tex(Decimal–ÕTRepresen®9tation).“ÒThe‘“çmapŽ¤v’ ³5-µD‘5²:‘ǸfŽ‘Dz1¸gŽŽ‘Ç‘8àÄDŸûÞÿ·0Ž‘Î9¸!‘ÇÄR¸nŽ‘xßfŽ‘"xà²0¸gŽŽŽ¡‘? ïsrc:1144tempanal.texÒis–“ça“bije‘ÿ}'ction.ŽŸv‘N ïsrc:1148tempanal.texÇProQÇof.–ôv²SuppGose“µD‘ñŲ(Ž‘ÕTµ";‘ª¨ z²)ŽŽ‘
£=‘ǵD‘ñŲ(Ž‘ÕTµÒª;‘ª¨‘ ‡²)ŽŽ‘’«for“some“(Ž‘ص";‘ª¨ z²)ŽŽ‘:²and“(Ž‘صҪ;‘ª¨‘ ‡²)ŽŽ‘•\in‘ôu¸fŽ‘ôv²1¸gŽŽ‘2º‘w#ÄDµ:Ž¤ ‘? ²Since–ÐüµD‘ñŲ(Ž‘ÕTµ";‘ª¨ z²)ŽŽ‘
£µ>›Ç²0“if“µ"˜²=˜1‘Ðýand“µD‘ñŲ(Ž‘ÕTµ";‘ª¨ z²)ŽŽ‘
£µ<˜²0“if“µ"˜²=˜¸ ²1“it“follo¸ãws‘Ðýthat“µ"˜²=˜µÒª:“²LetŽ¡‘? µa–²=›µa‘ª¨²(Ž‘Ž7µ z²)ŽŽ‘k and‘Šµb“²=˜µa‘ª¨²(Ž‘Ž7µ‘ ‡²)ŽŽ‘*ÿbšGe–Šthe‘Šsequences“asso˜ciated“to–Šµ‘“–²and“µ‘8²resp˜ectiv¸ãely‘ÿ*ª.Ž¡‘? SuppšGose–ê‰that“µ‘sæ¸6²=‘jlµ‘q¥²and“let–ꊵj‘ü÷¸2‘jkÄZ“²b˜e–ê‰the“p˜osition“where“µ‘ô²and“µ‘q¥²rstŽ¡‘? disagree,–;i.e.“µŸÿ´nŽ‘ p²=›þ•µŸÿ´nŽ‘ ¹²for“all“µn˜<‘þ–j‘¢Å²while“µŸÿ´jŽ‘5B¸6²=˜µŸÿ´jŽ‘6¬µ:“²F‘ÿ*ªor‘:sak¸ãe“of“denitenessŽ¡‘? suppGose–UUµŸÿ´jŽ‘ýĵ>›ÇŸÿ´jŽ‘6¬µ:“²Then“for“µn˜>˜j‘çà²wš¸ãe“ha˜v˜eŽŸÖ‘r6µbŸÿ´nŽ‘ª^¸ ‘8àµaŸÿ´nŽŽŽŽ’ •Ž²=‘Ç(Ž‘ª§µŸÿ´jŽ‘oŒ¸ ‘8ൟÿ´jŽ‘6¬²)ŽŽ‘,ì·10ŸûÞÿ· ´jŽ‘¯²+Ÿóý‘ó ´nŽŸ€‘2ãŸöü«XŽŽŸ‘8à´k+B±=´jg±+1ŽŽ‘IW²(Ž‘ ,浟ÿ´kŽ‘$p¸ ‘8ൟÿ´kŽ‘ë²)ŽŽ‘Gؾ10ŸûÞÿ· ´kŽŽŽŽŽŸ"ç!’ •Ž¸–Dz10ŸûÞÿ· ´jŽ›¯¸ ‘8à²9Ÿóý‘dÑ´nŽŸ€‘¤«Ÿöü«XŽŽŸ‘ª¨´k+B±=´jg±+1ŽŽ‘»²10ŸûÞÿ· ´kŽ‘
ò©¸“²10ŸûÞÿ· ´jŽ˜¸ –8à²9Ÿù<$‘êù1Ž‘33Ÿw‰ fe oŒŸ (Ö9“¸“²10Ÿýr´jŽŽŽŽŽ‘
²=‘Ç0µ:ŽŽŽŽŸY¡‘? ïsrc:1164tempanal.tex²Therefore–ŽµbŸÿ´nŽ‘¹¸ ‘ ª<µaŸÿ´nŽ‘8–¸‘Dz0“for›Žall“µn˜²and“limŽ‘;(Ž‘ÿʵbŸÿ´nŽ‘ª^¸ ‘8àµaŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘=Z%=‘Ç0“i˜µŸÿ´jŽ‘ýIJ=‘ǵŸÿ´jŽ‘àè²+‘ ª<1˜and“µŸÿ´kŽ‘²¨²=‘Ç9Ž¡‘? and–d;µŸÿ´kŽ‘Ë|²=›ßì0“for“all‘d:µk‘0„>˜jR:“²In‘d:summary‘ÿ*ª,“µD‘ñŲ(Ž‘ÕTµ";‘ª¨ z²)ŽŽ‘#w=˜µD‘ñŲ(Ž‘ÕTµÒª;‘ª¨‘ ‡²)ŽŽ‘pwith“µ‘éf¸6²=˜µ‘ëW²impliesŽ¡‘? either–Ù£µ‘ã²or“µ‘`¿²has›Ù¢an“innite“tail˜of“nines“whicš¸ãh“sho˜ws›Ù¢that“µD‘ À²is˜injectiv¸ãe“whenŽ¡‘? restricted–/™to‘/˜¸fŽ‘ /™²1¸gŽŽ‘Á‘ÊbÄDŸü^ÿ·0Ž‘Î9µ:“²T‘ÿ*ªo›/˜see“that“µD‘v¶²is˜surjectiv¸ãe“it“suces“to˜shoš¸ãw“an˜yŽ¡Ÿý\q‘>¥UŽŸ£‘? µbŽŽ‘F¸2–ÇÄR›7u²with‘7t0“µ<Ÿý\q‘lm²ŽŸ£“µbŽŽ‘ ØÚ<“²1‘UUis˜in˜the˜range–7tof˜µDG:˜²F‘ÿ*ªor˜eac¸ãh“µn–Ǹ2“ÄNµ;˜²let˜µaŸÿ´nŽ‘8–²=“µ:Ÿÿ±1Ž‘'µ:–ª¨:“:Ž‘|jŸÿ´nŽŽ¡‘? ²with–UUµŸÿ´iŽ‘d¸2‘ÇfŽ‘Dz0µ;–ª¨²1µ;“²2µ;“:“:“:Ž‘ÿ÷;“²9¸gŽŽ‘C8Ö²suc¸ãh“thatŽŸv’ ¥•>Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ’ ¥•>µi‘ª¨²(Ž‘Ž7µaŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘óŒµ<Ÿý\q‘lm²ŽŸ£‘ǵbŽŽ‘ ØÚ¸‘ǵi‘ª¨²(Ž‘Ž7µaŸÿ´nŽ‘q~²)ŽŽ‘eT+‘8àµi‘ª¨Ÿ÷æb« Ž‘?ÿ²10ŸûÞÿ· ´nŽ‘±Ÿ÷æb«ŽŽ‘"1µ:Ž’zqò(3.6)ŽŽŽŸ×‘? ïsrc:1178tempanal.texSince– µaŸÿ´n±+1Ž›X™²=‘ǵaŸÿ´nŽ‘Ú²+‘ [µŸÿ´n±+1Ž‘‘²10Ÿü^ÿ· ±(´n±+1)Ž‘–²for“some“µŸÿ´n±+1Ž˜¸2‘ÇfŽ‘Dz0µ;–ª¨²1µ;“²2µ;“:“:“:Ž‘ÿ÷;“²9¸gŽŽ‘AŽ)µ;‘ ²w¸ãe“see“thatŽ¡‘? µaŸÿ´n±+1Ž‘X™²=‘ǵ:Ÿÿ±1Ž‘'µ:–ª¨:“:Ž‘|jŸÿ´nŽ‘q~µŸÿ´n±+1Ž‘‘µ;–0:²i.e.›0;the“rst“µn“²digits˜in“the“decimal“expansion˜of“µaŸÿ´n±+1ŽŽ¡‘? ²are–Ÿ¼the›Ÿ»same“as“in“the˜decimal“expansion“of˜µaŸÿ´nŽ‘q~µ:“²Hence“this“denes˜µŸÿ´nŽ‘:²uniquelyŽ¡‘? for›„all‘„
µn–ñ¸“²1µ:˜²By˜setting›„
µŸÿ´nŽ‘†p²=“0˜when›„µn“¸“²0µ;˜²w•¸ãe‘„
ha“v“e˜constructed˜fromŸý\q‘)_ŽŸ£‘„
µbŽŽ‘R¿²anŽ¡‘? elemen¸ãt–UUµ‘Ð’¸2›ÇÄDµ:“²Because“of“Eq.“(ïhtml:3.6ï html:),“µD‘ñŲ(Ž‘ÕT1µ;‘ª¨ z²)ŽŽ‘`Þ=Ÿý\q‘lmŽŸ£˜µbŽŽ‘Â:‘qHŠ„ ŽŽ‘? ©€ ïhtml:ï html:ŸúÇNotation‘ÕT3.13ŽŽ‘Iå<ïsrc:1189tempanal.texÒF‘ÿ;¼r‘ÿ}'om–#°now›#¯on“we˜wil‘ ‚Øl“identify“ÄQ˜Òwith“µi‘ª¨²(Ž‘Ž7ÄQ²)ŽŽ‘ÿü¸‘ÇÄR˜Òand“elementsŽ¡in–“çÄR“Òwith“their“de›ÿ}'cimal“exp˜ansions.ŽŸz
‘ ïsrc:1194tempanal.tex²T‘ÿ*ªo–“æsummarize,“wš¸ãe“ha˜v˜e“constructed“a‘“åcomplete“ordered“eld“ÄR“²\con˜tain-Ž¡ing"–k*ÄQ“²as“a“dense“subset.“Moreo•¸ãv“er›k*ev“ery‘k)elemen“t˜in˜ÄR˜²(moGdulo˜those˜of˜theŽ¡form–UUµm²10Ÿü^ÿ· ´nŽ‘Ô²for“some“µm–Ǹ2“ÄZ–UU²and“µn–Ǹ2“ÄN²)Ž‘8àhas–UUa“unique“decimal“expansion.Ž¦ïhtml:ï html:ŸöÇCorollary‘ÕT3.14.ŽŽ‘MÌXïsrc:1201tempanal.texÒThe–u$set“²(0µ;‘ª¨²1)‘_ :=‘_!¸fŽ‘ _"µa–Ǹ2“ÄR“²:“0“µ<“a“<“²1¸gŽŽ‘]ØRÒis“unc‘ÿ}'ountable“whileŽ¡ÄQ–8à¸\“²(Ž‘Ç0µ;‘ª¨²1)–“çÒis“c‘ÿ}'ountable.ŽŸÏ¬‘ ïsrc:1206tempanal.texÇProQÇof.–Zª²By“Theorem“ïhtml:3.12ï html:,“the‘Z©set“¸fŽ‘Z«²0µ;–ª¨²1µ;“²2“µ:“:“:Ž‘ÿ÷;“²8¸gŽŽ‘<¯öŸúøâÅNŽ‘D˜Õ²can“bšGe“mapp˜ed“injectiv¸ãelyŽ¡inš¸ãto–n(0µ;‘ª¨²1)“and“therefore‘oit“follo˜ws“from“Lemma“ïhtml:2.6ï html:“that‘o(0µ;‘ª¨²1)“is“uncoun˜table.Ž¡F‘ÿ*ªor‘É›eac¸ãh›Éœµm–3Š¸2“ÄNµ;˜²let›É›µAŸÿ´mŽ‘Ì&²:=“Ÿ÷æb«ŽŸü‘
O£´nŽ‘<Ÿ£&‰ fe ›Ÿ¿˜mŽŽŽŽ‘Nú²:–ǵn“¸2“ÄN‘UU²withŽŽ‘tµn“<“mŸ÷æb« ŽŽ‘t ›µ:˜²Since‘ÉœÄQ–8à¸\“²(Ž‘µ0µ;‘ª¨²1)“=Ž¡¸[Ÿü^ÿ·1ŽŸl´m±=1ŽŽ‘¸žµAŸÿ´mŽ‘
Në²and–¶P#‘ª¨(Ž‘Ž7µAŸÿ´mŽ‘˜›²)ŽŽ‘Qzµ<‘Ǹ1›¶Q²for“all“µm;“²another“application“of˜Lemma“ïhtml:2.6ï html:“sho¸ãwsŽ¡ÄQ–8à¸\“²(Ž‘Ç0µ;‘ª¨²1)–UUis“coun¸ãtable.’ çÇ„ ŽŽŽŽŒ‹ * R ýº ‘? ïhtml:ï html:’ ÀõHÐ3.2‘ The–TComplex“Num¾9bAÇers‘Ù®19ŽŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ
Ñ3.2Ž‘@ The–€ Complex“Num b` ersŽŸ
¯ïhtml:ï html:Ÿ ª¬ÇDenition‘ÕT3.15ŽŽ‘M%<ïsrc:1218tempanal.tex(Complex‘RÁNum®9bQÇers).‘RÂÒL›ÿ}'et‘+rÄC–Dz=“ÄRŸü^ÿ±2Ž‘§åÒe˜quipp˜e˜d–+rwith“multipli-Ž¤ c‘ÿ}'ation‘“çruleŽ¡‘d¹^Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ‘d¹^²(µa;–ª¨b²)(µc;“d²)–Ç:=“(µac–8ภ“µbd;‘ª¨bc“²+“µad²)Ž’;qÃ(3.7)ŽŽŽ©ƒEïsrc:1223tempanal.texÒand–4àthe“usual“rule“for“ve›ÿ}'ctor“addition.“As“is“standar˜d“we“wil‘ ‚Øl“write“²0–Ç=“(Ž‘ª§0µ;‘ª¨²0)ŽŽ‘ª¥µ;Ž¡²1›ôù=–ôú(1µ;‘ª¨²0)‘ÇÜÒand‘ÇÛµi“²=˜(0µ;‘ª¨²1)–ÇÜÒso“that›ÇÛevery“element“µz‘8rÒof“ÄC“Òmay“b‘ÿ}'e˜written“asŽ¡µz‘£d²=‘2͵x²1–0Â+“µy[Ùi–éýÒwhich“in“the‘éüfutur›ÿ}'e“wil‘ ‚Øl“b˜e“written‘éüsimply“as“µz‘£d²=‘2͵x–0²+“µiy[Ù:‘éýÒIfŽ¡µz›7¯²=‘ǵx–8à²+“µiy[Ù;–“çÒlet“²ReŽ‘ȵz˜²=‘ǵx“Òand“²ImŽ‘0Xµz˜²=‘ǵy[Ù:ŽŸ0‘ ïsrc:1230tempanal.tex²W‘ÿ*ªriting–-µz‘|j²=›Óµa‘ºÄ²+‘ºÅµib‘,²and“µw‘P¶²=˜µc‘ºÄ²+‘ºÅµid;›,²the“m¸ãultiplication˜rule“in˜Eq.“(ïhtml:3.7ï html:)Ž¡bGecomesŽ¡‘P ;Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ‘P ;(µa–8à²+“µib²)(µc“²+“µid²)–Ç:=“(µac–8ภ“µbd²)“+“µi²(µbc“²+“µad²)Ž’;qÃ(3.8)ŽŽŽ¦ïsrc:1235tempanal.texand–UUin“particular“1Ÿü^ÿ±2Ž›C‹²=‘Ç1“and“µiŸü^ÿ±2Ž˜²=‘Ǹ ²1µ:ŽŸñÇïhtml:ï html:Ÿ>WÇPropQÇosition‘ÕT3.16.ŽŽ‘XÐ=ïsrc:1238tempanal.texÒThe–}c›ÿ}'omplex“numb˜ers“ÄC‘}Òwith“the“ab˜ove“multiplic˜ationŽ¡rule–iosatises“the“usual“denitions“of“a“eld.“F‘ÿ;¼or“example“µwDãz‘ŠE²=‘µzp—w‘®RÒandŽ¡µz‘?²(Ž‘þεwŸÿ±1Ž‘µS²+‘8àµwŸÿ±2Ž‘|s²)ŽŽ‘2ÚD=‘t¥µz•p—wŸÿ±1Ž‘ÇŒ²+‘Kµz“wŸÿ±2Ž‘|sµ;‘VÒetc.›UMor–ÿ}'e“over˜if–Vµz‘å<¸6²=‘t¥0µ;“z‘~ìÒhas“a˜multiplic‘ÿ}'ativeŽ¡inverse–“çgiven“byŽŸ§j‘o•Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ‘o•µzp—ŸûÞÿ· ±1Ž‘
ô#²=Ÿù<$‘¸‚µaŽ‘úKŸw‰ fe ÅžŸ (ÖaŸýr±2Ž‘µS²+‘8àµbŸýr±2ŽŽŽŽŽ‘&+ü¸ –8àµiŸù<$‘pbŽ‘33Ÿw‰ fe ÅžŸ (ÖaŸýr±2Ž‘µS²+“µbŸýr±2ŽŽŽŽŽ‘!,µ:Ž’;qò(3.9)ŽŽŽŸÓC‘ ïsrc:1249tempanal.texÇProQÇof.–
Û²The“proGof“is“a“straigh•¸ãtforw“ard›
Ûv“erication.˜Only˜the˜last˜assertionŽ¡will–?`bGe›?_v¸ãeried“here.˜SuppGose“µz‘7¯²=–ǵa‘ö²+‘õµib“¸6²=“0µ;–?`²w¸ãe˜wish“to“nd˜µw‘û²=‘ǵc‘ö²+‘õµid“²suc¸ãhŽ¡that–UUµzp—w‘û²=‘Ç1“and“this“happGens“b¸ãy“Eq.“(ïhtml:3.8ï html:)“iŽ©0’ ƒÇFµac–8ภ“µbdŽŽŽ’ ¥ãc²=‘Ç1‘UUandŽŽŽŽŽ’6qŸñ ïhtml:ï html:ŽŽ’6qÂ(3.10)ŽŽŽŽŽŸ ’ ƒÇFµbc–8à²+“µadŽŽŽ’ ¥ãc²=‘Ç0µ:ŽŽŽ’6qŸñ ïhtml:ï html:ŽŽ’6q²(3.11)ŽŽŽŽŽŸ–ïsrc:1256tempanal.texSolving–Uˆthese“equations›U‰for“µc“²and“µd˜²giv¸ães“µc›Ç²=Ÿü‘µU´aŽ‘úKŸ£&‰ fe Ì„Ÿ¿˜aŸþ °2Ž‘ç ±+´bŸþ °2ŽŽŽŽŽ‘OŠ²and“µd˜²=˜¸ Ÿü‘
WS´bŽ‘33Ÿ£&‰ fe Ì„Ÿ¿˜aŸþ °2Ž‘ç ±+´bŸþ °2ŽŽŽŽŽ‘ˆs²as“claimed.Ž¡„ ŽŽïhtml:ï html:ŸƒEÇNotation–ÕT3.17“(Conjugation“and“MoQÇdulus)ŽŽ’ Úaïsrc:1261tempanal.texÒIf– ôµz‘ý>²=›Œ¦µa‘‡å²+‘‡æµib“Òwith‘ õµa;‘ª¨b˜¸2˜ÄRŽ¡Òlet‘Á—²Ž‘'εzŽŽ‘²=‘ǵa–8ภ“µib‘“çÒandŽŸá‘FxƸjµzšp—¸j–Dz:=“Ÿ÷Ÿx¸pŽ‘oŸ÷Ÿx‰ fe
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`²Ž˜µzŽŽŽŽŽ‘ò=“Ÿö-«pŽ‘ÇŸö-‰ fe ÅžŸ ÒSµaŸýr±2Ž‘µS²+‘8àµbŸýr±2ŽŽŽŽ‘.Sϲ=“Ÿòñ8«qŽ‘ÇŸòñ8‰ fe E‘ÆŸ
ȸjŽ‘DzReŽ‘?þµz˜¸jŽŽ‘9Ÿúøâ±2Ž‘ÓŒ²+‘8à¸jŽ‘ÿý²ImŽ‘œnµz˜¸jŽŽ‘z©Ÿúøâ±2ŽŽŽŽ‘RXßµ:Ž¦ïsrc:1267tempanal.texÒSe–ÿ}'e›?ˆExer“cise˜ïhtml:3.8ï html:˜for˜the˜existenc“e˜of‘?‡the˜squar“e˜r“o“ot˜as˜a˜p“ositive˜r“e“al˜numb“er.ŽŸƒF‘ ïsrc:1271tempanal.tex²Notice‘UUthatŽŸeÀ‘Nô<Ÿô ïhtml:ï html:ŽŽ‘PžäReŽ‘^ŵz–7¯²=Ÿù<$‘úK1Ž‘úKŸw‰ fe Ÿ (Ö2ŽŽŽŽ‘Ø'(Ž‘»¶µz‘©w²+‘Ò©Ž‘8àµzŽŽ‘Oþ²)ŽŽ‘/\andŽŽ‘D"ÎImŽ‘Q¿?µz“²=Ÿù<$‘³E1Ž‘úKŸw‰ fe qõŸ (Ö2µiŽŽŽŽ‘J²(Ž‘-ªµz‘©w¸ ‘Ò©²Ž‘8àµzŽŽ‘Oþ²)ŽŽ‘/"ûµ:Ž’6q²(3.12)ŽŽŽŸ'ïhtml:ï html:ŸñÇÇPropQÇosition‘ÕT3.18.ŽŽ‘XÐ=ïsrc:1279tempanal.texÒComplex–°Žc›ÿ}'onjugation“and“the‘°mo˜dulus“op˜er˜ators“satisfyŽ¡the–“çfol‘ ‚Ølowing“pr–ÿ}'op“erties.ŽŸ uïhtml:ï html:Ÿ
9‘Ò€1.ŽŽŽ‘ ïsrc:1283tempanal.texŸùO‰ fe Ÿà±‘ ™É²ŽµzŽŽŽ‘Þ6²=‘ǵzp—;ŽŽŽŒ‹ @˜ R ýº ‘? ïhtml:ï html:Ð20Ž‘ ª3‘ A–TBrief“Review“of“Real“and“Complex“Num¾9bAÇersŽŽ ( ‘? ýä ïhtml:ï html:Ÿ
‘Ò€Ò2.ŽŽŽ‘ ïsrc:1285tempanal.texŸú~™‰ fe „ÀŸgµzp—wŽŽ‘Kز=‘`᎑ǵzŽŽ‘ ê^²Ž‘Þ6µwŽŽ‘ß¿Òand‘-°²Ž‘“çµzŽŽ‘
ãå²+‘EŽ‘8àµwŽŽ‘mš²=‘ÇŸø÷|‰ fe ½žŸ„µz‘©w²+‘8àµwŽŽ‘„¶:ŽŸ ÕUïhtml:ï html:Ÿ*«‘Ò€Ò3.ŽŽŽ‘ ïsrc:1287tempanal.tex¸jŽ‘`沎‘ǵzŽŽ‘Þ;¸jŽŽ‘
lp²=‘ǸjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽŽ¤€ ïhtml:ï html:© € ‘Ò€Ò4.ŽŽŽ‘ ïsrc:1289tempanal.tex¸jŽ‘ǵzp—wDã¸jŽŽ‘Ú²=‘ǸjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽ‘jŽ‘Þ5µwDã¸jŽŽ‘¦ÛÒand–“çin“p‘ÿ}'articular“¸jŽ‘[µzp—Ÿü^ÿ´nŽ‘â¸jŽŽ–qÕ²=‘ǸjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽ‘
lpŸúøâ´nŽ“Òfor–“çal‘ ‚Øl“µn–Ǹ2“ÄNµ:Ž¡ïhtml:ï html:¦‘Ò€Ò5.ŽŽŽ‘ ïsrc:1293tempanal.tex¸jŽ‘DzReŽ‘?þµzp—¸jŽŽ‘åQ‘ÇjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽ‘ WÒand‘“ç¸jŽ‘[²ImŽ‘÷uµzp—¸jŽŽ‘œÈ‘ÇjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽŽ¡ïhtml:ï html:¦‘Ò€Ò6.ŽŽŽ‘ ïsrc:1296tempanal.tex¸jŽ‘ǵz‘©w²+‘8àµwDã¸jŽŽ‘!ð‘ÇjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽ‘¥P²+‘8à¸jŽ‘ÿýµwDã¸jŽŽ‘ßdµ:Ž¡ïhtml:ï html:¦‘Ò€Ò7.ŽŽŽ‘ ïsrc:1299tempanal.texµz‘7¯²=›Ç0–“çÒi“¸jŽ‘[µzp—¸jŽŽ‘ W²=˜0µ:Ž¡ïhtml:ï html:¦‘Ò€Ò8.ŽŽŽ‘ ïsrc:1301tempanal.texIf–“çµz‘7¯¸6²=‘Ç0“Òthen“µzp—Ÿü^ÿ· ±1Ž‘
ô#²:=Ÿü‘Ë£±Ž‘MÛ´zŽŽŽ‘úKŸ£&‰ fe ±Ÿ¿˜·j´zI{·jŸþ °2ŽŽŽŽŽ‘„Ò(also“written“asŸü‘Ö©±1Ž‘ÇŸ£&‰ fe ‘Ÿ¿˜´zŽŽŽŽ‘
Þ²)“Òis“the“inverse“of“µzp—:ŽŸ2Ëïhtml:ï html:Ÿ
‰ö‘Ò€Ò9.ŽŽŽ‘ ïsrc:1304tempanal.texŸ÷ü«ŽŸ ŽŽ‘UUµzp—Ÿü^ÿ· ±1ŽŸ÷ü‘-«ŽŸ ‘-ŽŽŽ‘ET²=‘ǸjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽ‘
lpŸúøâ· ±1Ž‘¼ËÒand–“çmor›ÿ}'e“gener˜al› ‚Øly“¸jŽ‘[µzp—Ÿü^ÿ´nŽ‘â¸jŽŽ–qÕ²=‘ǸjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽ‘
lpŸúøâ´nŽ“Òfor–“çal˜l“µn–Ǹ2“ÄZµ:ŽŸûç‘ ïsrc:1311tempanal.texÇProQÇof.–u²All“of›tthese“propGerties“are“direct“computations˜except“for“pGossiblyŽŸ the–W°triangle“inequalitš¸ãy“in‘W±item“6“whic˜h“is“v˜eried“b˜y‘W±the“follo˜wing“computation;Ž©ûç‘,À¸jŽ‘.Îݵz‘©w²+‘8àµwDã¸jŽŽ‘JS˜Ÿúøâ±2ŽŽŽŽ‘Q—#²=‘Ç(Ž‘ª§µz‘©w²+‘8àµwDã²)ŽŽ‘$ö|(Ž‘(ÚŸø÷|‰ fe ½žŸ„µz‘©w²+‘8àµwŽŽ‘A—©²)ŽŽ‘HBP=‘ǸjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽ‘
lpŸúøâ±2Ž‘!ò+‘8à¸jŽ‘ÿýµwDã¸jŽŽ‘4¼Ÿúøâ±2Ž‘ê²+–8àµw‘ Þ¬²ŽDãµzŽŽ‘”á²+‘EŽ“µwŽŽ‘ ¦‚zŽŽŽŽ¤#’‘Q—#²=‘ǸjŽ‘Ž5µzp—¸jŽŽ‘
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